Doppelintegral - Flächenberechnung ?

20.06.2011, 15:31	Crank	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral - Flächenberechnung ? Meine Frage: Hallo zusammen, mir fehlt da etwas das Verständnis für Mehrfachintegration von Funktionen. Also an sich verstehe ich die Herleitungen. Bei einem ganz normalen Integral addieren wir einfach die infinitesimal kleinen Stücke auf und haben die Fläche unter einer Kurve f(x). Nur wenn wir eine Fkt f(x,y) haben dann ist es doch nicht mehr im 2D Raum ? Sondern ist schon ein 3D Gebilde. An sich verstehe ich ja das wir infinitesimale Flächen aufaddieren und daraus sich eine Fläche ergibt. Aber das sind doch im Endeffekt gar keine Funktionen ?! f(x,y) ist doch keine 2D Fläche ?! Ich hoffe jemand kann meiner Fragestellung folgen. Danke!!! Meine Ideen: Steht oben
20.06.2011, 23:07	Crank	Auf diesen Beitrag antworten »
Unverständlich die Frage gestellt ?
21.06.2011, 09:48	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Funktion z=z(x,y) kann man als gekrümmte Fläche über der xy-Ebene interpretieren. Das Doppelintegral $\begin{eqnarray} \int \int \! z(x,y) \, dxdy \end{eqnarray}$ entspricht dem Volumen, das zwischen der xy-Ebene und der gekrümmten Fläche "eingeklemmt" ist. Ähnlich wie beim eindimensionalen Integral zerlegt man dieses Volumen in viele dünne "Säulen" mit der Grundfläche $\begin{eqnarray} dx \cdot dy \end{eqnarray}$ und der lokalen Höhe $\begin{eqnarray} z(x,y) \end{eqnarray}$ . Das Integral ist die Summe der Volumen dieser Säulen. Im Prinzip ist das das Gleiche wie bei der Integration einer Kurve.
21.06.2011, 23:14	Crank	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort ! Aber soweit hab ich es verstanden. Die Sache ist doch aber, dass das Doppelintegral meistens eine Fläche beschreibt ? Zb. $\begin{eqnarray} \phi=\int\int_A \! \vec{B} \, d\vec{A} \end{eqnarray}$ In diesem Fall die Aufsummierung der Flächen welche von der Flussdichte B durchdrungen wurden ?
22.06.2011, 02:24	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Doppelintegral beschreibt immer dann eine Fläche, wenn der Integrant 1 ist. Das Rechteck a b zum Beispiel $\begin{eqnarray} A=\int _0^a \int _0^b 1 \dd y \dd x \end{eqnarray}$ Sinngemäss beim Quader $\begin{eqnarray} V=\int _0^a \int _0^b \int_0^c 1\dd z \dd y \dd x \end{eqnarray}$ interessant wird es, wenn dem Funktional eine richtige Funktion zugewiesen wird, zum Beispiel eine Dichte oder z.B x^2+y^2 für das Trägheitsmoment bez. z-Achse. Wenn ich das recht sehe möchtest du über einem Querschnitt mit variabler Flussdicht und inhomogenen B-Feld die Summe aller Skalarprodukte der Feldfunktion in jedem Flächenpunkt mit dem Flächenelement aufsummieren. Ergibt das den magnetischen Fluss? Also hier sind die Integrationsgrenzen ( in der Anschauung ) eine reale Fläche, das Integral magnetischer Fluss. $\begin{eqnarray} s(t_1)=\int _0^{t_1} \int _0^{t_1} a(t) \dd t \dd t \end{eqnarray}$ für eine Beschleunigung aus dem Stand das Integrationsgebiet ist ( theoretisch ) ein Zeitquadrat mit der Einheit s^2. Also kurz: das Gebiet ist von dem Typ was das Produkt der Differenziale angibt. Praktisch rechnet man aber ohne physikalische Einheiten, dann sind die Differenziale nur noch Koordinaten. Ein Gebiet für ein Doppelintegral ist dann immer eine Teilmenge des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ also eine Fläche vom Mass 2. so gesehen hast du dann immer Recht, nicht nur meistens.

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