unendliche Reihe sin(xn)/n=(pi-n)/2

20.06.2011, 16:12

Shalec

unendliche Reihe sin(xn)/n=(pi-n)/2

Hallo ihr alle!
Ich Rätsel heute schon recht lange an dieser Aufgabe rum..

Also:
Behauptung: $\begin{eqnarray*} \text{für } 0<x<2\pi \text{ ist } \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(xn)}{n}=\frac{\pi-n}{2} \end{eqnarray*}$

Ich hatte bislang so den Einfall:

Partialsummenbetrachtung:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(xn)}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\sin(xk)}{k}=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} \int_\pi^x \cos(nx)dx=\lim\limits_{n\to\infty} \int_\pi^x \sum\limits_{k=1}^{n}\cos(nx)dx \end{eqnarray*}$

Und nun (beweis führte ich bereits eine Aufgabe zuvor)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}\cos(nx) = \int_\pi^x \frac{\sin(nx+\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Partielle Integration liefert:
$\begin{eqnarray*} \int\frac{\sin(nx)\cos(\frac{x}{2})}{\sin\frac{x}{2}}dx=\int\frac{\sin(nx)\cos(x/2)+\cos(nx)+\sin(x/2)}{\sin(x/2)}dx=\int\frac{\sin(nx)\cos(x/2)}{\sin(x/2)}dx-\frac{\sin(nx)}{n} \end{eqnarray*}$

Nun hatte ich ebenfalls etwas früher bewiesen, dass:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\int\sin(nx)f(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist.

nun Habe ich viele Fragmente, die mir wohl zur Lösung helfen sollten..aber ich sehe einfach den Zusammenhang nciht so direkt.

(Als Hinweise auf dem Blatt wurde das oben berechnete Integral über cos(nt), dann mit der Identität zusammen soll man nun die Partialsummen der Reihe berechnen, um anschließend mittels des Riemannschen Lemmas die Summe der Reihe zu erhalten.)

Kann mir hier jemand noch was zu verraten? ich würde jetzt die Teilergebnisse irgendwie zusammenfügen und gucken was dabei raus kommt, jedoch muss ich jetzt bis 20:30 zur arbeit und würde mich gerne mal ein wenig umhören, wie man das nun lösen könnte.. Big Laugh

)

Vielen Dank schonmal für die bereitwillige Hilfe! smile

20.06.2011, 16:33

René Gruber

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Zitat:

Original von Shalec
Behauptung: $\begin{eqnarray*} \text{für } 0<x<2\pi \text{ ist } \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(xn)}{n}=\frac{\pi-n}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist der Reihenindex, der hat rechts im Ergebnis nichts zu suchen. Vermutlich meinst du stattdessen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(xn)}{n}=\frac{\pi-x}{2} \end{eqnarray*}$ .

20.06.2011, 21:09

Shalec

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Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von Shalec
Behauptung: $\begin{eqnarray*} \text{für } 0<x<2\pi \text{ ist } \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(xn)}{n}=\frac{\pi-n}{2} \end{eqnarray*}$

ja, natürlich ^^...macht anders ja keinen sinn

20.06.2011, 21:11

Shalec

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RE: unendliche Reihe sin(xn)/n=(pi-n)/2

Zitat:

Original von Shalec
Und nun (beweis führte ich bereits eine Aufgabe zuvor)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}\cos(nx) = \frac{\sin(nx+\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

auch hier hatte sich ein Fehler eingeschlichen..

23.06.2011, 13:29

Shalec

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hab meine denklücke mitlerweile überwunden ^^
hatte die funktion falsch aufgespalten, sodass mir die hinweise nur geringfügig geholfen hatten..
naja, mit

$\begin{eqnarray*} \int_\pi^x \frac{1}{\sin(\frac{t}{2})}\cdot \sin(n+\frac{1}{2})t dt \end{eqnarray*}$ kann man dann die behauptung im eE folgern! (=0 für t-> oo)

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