Ungleichung beweisen (Knoten & Daten mit Schrittweite gegeben)

20.06.2011, 16:24

Hamsterchen

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Ungleichung beweisen (Knoten & Daten mit Schrittweite gegeben)

Hi
habe hier folgende Aufgabe:

Für eine Schrittweite $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq i\leq m \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} x_i:=a+ih\in [a,b] \end{eqnarray*}$ die Knoten und $\begin{eqnarray*} y_i:=f(x_i)\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ die Daten, wobei $\begin{eqnarray*} f\in C^2[a,b] \end{eqnarray*}$ . Ferner sei $\begin{eqnarray*} s\colon[a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ die auf jedem Intervall $\begin{eqnarray*} [x_i,x_{i+1}],\, 0\leq i\leq m-1 \end{eqnarray*}$ lineare Funktion mit $\begin{eqnarray*} s(x_i)=y_i,\, 0\leq i\leq m \end{eqnarray*}$ .

Z.z.: $\begin{eqnarray*} \vert f(x)-s(x)\vert\leq\frac{h^2}8\Vert f''(x)\Vert_{[a,b]}\,\forall x\in[a,b] \end{eqnarray*}$

Einen Ansatz hab ich leider noch keinen. Verstehe ich das richtig, dass $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an den Stellen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ die selben Funktionswerte haben und ansonsten weiß man nix über diese beiden Funktionen. Und trotzdem soll man dann sagen können, dass sie sich nicht mehr als um die angegebene Schranke unterscheiden?

LG
Hamsterchen

20.06.2011, 18:05

tigerbine

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1. In welchem Themenblock seid ihr gerade?
2. Warum heißt die eine Funktion daher "s"?
3. Was für ein Txp von "s" ist es hier?

20.06.2011, 19:52

Hamsterchen

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Hi Tigerbine,
also als letzes haben wir Interpolationspolynome gemacht. Aber ich weiß nicht, wieso das Ding s heißt ^^ Klär mich bitte auf =)

20.06.2011, 19:56

tigerbine

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Nun machst du eben auf jedem Intervall ein lineares IP. Das gesamte Ding heißt dann linearer Spline.

20.06.2011, 20:17

Hamsterchen

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Hi,
also ähm ich hab von Numerik noch net so den Plan ^^ was ist denn IP???
Also ich durchsuche mal meine Vorlesung, war aber mal net da, hoffentlich war das net genau dieses eine mal...

Ansonsten schonmal danke und ich bin für Ansätze/Hilfe/... immer sehr dankbar =)

20.06.2011, 20:22

tigerbine

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Interpolationspolynom. Ansätze solltest du nun selbst haben.

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20.06.2011, 20:45

Hamsterchen

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so habe mir mal die vorlesung angeschaut. eigentlich haben wir noch nicht so wirklich viel gemacht, wir haben die lagrange-darstellung mit den lagrange-grundpolynomen definiert, ein paar sätze, die vandermond-matrix. aber irgendwie kann ich der vorlesung nicht ganz folgen, da steht zum beispiel:

Die Abb. $\begin{eqnarray*} \varphi\colon\mathbb R^{m+1}\ni y\mapsto p\in\prod_m \end{eqnarray*}$ ist linear und $\begin{eqnarray*} \varphi(e_j)=L_j \end{eqnarray*}$ . Falls die Basis $\begin{eqnarray*} \{1,x,\ldots,x^m\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \prod_m \end{eqnarray*}$ gewählt ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} \varphi(y)(x)=\sum\limits_ {j=0}^ma_jx^j \end{eqnarray*}$ .
Da weiß ich nicht, wieso phi auf einmal 2 argumente hat.

Dann weiter unten haben wir die Newtondarstellung definiert und da kommt in der summe dann vor: $\begin{eqnarray*} y[x_0,\ldots,x_m] \end{eqnarray*}$ , aber ich weiß ja gar nicht, was das heißen soll...

Naja vielleicht könntest du mir sagen, mit was von diesen Dingen das am besten zu lösen ist? Das wäre halt schonmal gut, wenn ich weiß, auch was ich mich konzentrieren muss.

edit: hab gerade in nem lemma was von diesem $\begin{eqnarray*} y[x_0,\ldots,x_m] \end{eqnarray*}$ gefunden, aber du wirklich definiert haben wir das nicht. auf einmal steht da $\begin{eqnarray*} y[x_0]=y_0 \end{eqnarray*}$ und eine rekursionsformel, und dann beweisen wir das auf seltsame art und weise... alles voll komisch ^^

20.06.2011, 21:05

tigerbine

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Zitat:

Naja vielleicht könntest du mir sagen, mit was von diesen Dingen das am besten zu lösen ist? Das wäre halt schonmal gut, wenn ich weiß, auch was ich mich konzentrieren muss.

Du musst lernen, dir selbst die richtigen Fragen zu stellen. Ferner ist es für ein lineares Interpolationspolynom doch völlig unnötig sich mit den Formeln fürMonom, Lagrange oder Newtondarstellung herumzuquälen, um das Problem erst mal in eine einfache Skizze zu übersetzen, und zu erkennen, worum es geht.

Zitat:

Das gesamte Ding heißt dann linearer Spline.

Hier nannte ich dir einen Begriff. Wo hast du dich mit dem schon einmal auseinander gesetzt? Wo hast du gesucht? Auch Boardsuche verwenden und in die Workshops schauen.

Da es am Ende um eine Fehlerabschätzung geht, sollte man sich auch anschauen, was man darüber so alles weiß.

20.06.2011, 21:10

Hamsterchen

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hallo tigerbine,
ich wollte dir nur sagen, was wir bisher hatten (grob). splines hatten wir noch nicht. deswegen dachte ich, dass man die aufgabe mit einem der genannten dinge vielleicht lösen könnte.
ich werde jetzt mal etwas googlen und mich dann wieder melden.

danke schonmal für deine hilfe

lg
hamsterchen

20.06.2011, 21:12

tigerbine

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Die Aufgabe ist ja als weiterführende Anwendung der Polynominterpolation gedacht. Mit dem Spline wollte ich dir nur den Hintergrund aufzeigen, um den es geht.

20.06.2011, 21:58

Hamsterchen

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hi nochmal,
also ich hab zu den splines irgendwie noch nicht viel gefunden, aber ich dachte mir, dass man evtl. diesen satz vielleicht verwenden könnte:

sei $\begin{eqnarray*} f\in C^{m+1}[a,b] \end{eqnarray*}$ , bei uns also $\begin{eqnarray*} f\in C^2[a,b] \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ . Dann sollen die $\begin{eqnarray*} x_j\in [a,b] \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sein, dass sind sie ja bei uns wegen der vorschrift a+ih und h>0. die $\begin{eqnarray*} y_j=f(x_j) \end{eqnarray*}$ sind bei uns auch gegeben. Jetzt steht in dem Satz allerdings für $\begin{eqnarray*} 0\leq j\leq m \end{eqnarray*}$ , bei uns ist das j also nur 0 und 1.

Ok der Satz besagt, dass es dann zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in [a,b] \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \xi\in conv\{x,x_0,\ldots,x_m\} \end{eqnarray*}$ gibt mit
$\begin{eqnarray*} f(x)-p(x)=\frac{f^{m+1}(\xi)}{(m+1)!}\omega_{m+1}(x) \end{eqnarray*}$ , wobei das conv die konvexe hülle ist.

in unserem fall also:
$\begin{eqnarray*} f(x)-p(x)=\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_i)(x-x_{i+1}) \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich nicht genau, was das p sein soll, in dem satz steht nix weiter darüber. kann ich da das s nehmen??? bringt dieser ansatz überhaupt etwas? Es ist das einzige, was ein bisschen so aussieht wie das, was ich am ende haben will.

20.06.2011, 22:10

tigerbine

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Das p ist das Interpoationspolynom und du hast eine Fehlerabschätzung dafür gefunden. Nun mach was draus.

20.06.2011, 22:11

Hamsterchen

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naja noch ist es keine abschätzung, da steht ein =
aber was mach ich denn mit dem xi und da muss ja auch noch irgendwie die norm mit ins spiel... verzweifelt sei -.-

20.06.2011, 22:12

tigerbine

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Ich habe zu dem Thema einen ganzen Workshop geschrieben. Lies ihn bitte.

Was werden die xi wohl sein? Die Knoten? Idee!

Idee!

20.06.2011, 22:14

Hamsterchen

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wieso die knoten? es ist doch nur irgendein wert zwischen x_i und x_{i+1}, zumindest steht das so in der vorlesung (konvexe hülle von zwei werten ist doch die verbindungsstrecke oder nicht?)

20.06.2011, 22:23

tigerbine

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Ich meinte nicht den Buchstaben, sondern die x_i. Latexmissverständnis. Was stört sich an dem $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ denn? Es gibt halt einen Punkt, so dass "0" gilt. Für die anderen hat man eben eine Abschätung. Wie bei Mittelwersätzen.

20.06.2011, 22:30

Hamsterchen

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hi,
das war aber ein blödes missverständnis ^^

ok, also ich habe deinen workshop gefunden und auch etwas nachvollziehen können. das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ schätzt du erst mit dem maximum von allen möglichen werten nach oben ab und mein omega mit (b-a)^{m+1}, was ja logisch ist, weil du einfach vorne den höchsten wert, der vorkommen kann, und hinten den niedrigsten einsetzt. (oh man voll blöd geschrieben ^^ aber du weißt ja, was ich meine)

also hab ich doch dann in meinem fall

$\begin{eqnarray*} \vert f(x)-s(x)\vert\leq (b-a)^2\max\limits_{t\in[a,b]}\frac{\vert f''(t)\vert}{2} \end{eqnarray*}$

naja so halbwegs zumindest. ich bin mir nicht so sicher wie das mit den teilintervallen und so funktioniert. achja, und die norm, da weiß ich noch gar nix...

20.06.2011, 22:39

tigerbine

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Das ist so nicht richtig. Die Formel gilt für p(!) und nicht für s(!). p lebt nun aber nicht auf dem Intervall [a,b], sondern wo?

20.06.2011, 22:50

Hamsterchen

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achso, auf jedem der teilintervalle ist s definiert. aber wie füge ich denn dann das ganze zusammen?

kann ich das dann erstmal so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \vert f(x)-s(x)\vert\leq (x_{i+1}-x_i)^2\max\limits_{t\in[x_i,x_{i+1}]}\frac{\vert f''(t)\vert}{2} \end{eqnarray*}$

???

wobei ja dann $\begin{eqnarray*} (x_{i+1}-x_i)^2=h^2 \end{eqnarray*}$ ist, oder???

edit: tigerbine, ich gehe jetzt schlafen. melde mich dann morgen wieder. gute nacht

20.06.2011, 23:21

tigerbine

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Schätze auf den einzelnen Itnervallen ab. Dann überlege, wir man auf eine Abschätzung auf dem ganzen Intervall kommen kann.

21.06.2011, 08:50

Hamsterchen

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Guten Morgen Tigerbine,
ich habe doch jetzt eine Abschätzung gefunden für jedes der Teilintervalle, oder nicht? Wegen dem Zusammenfügen, und vor allem wegen der Norm, bräuchte ich noch ein paar Tips.

LG
Hamsterchen

21.06.2011, 17:03

tigerbine

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Ich will erst mal die Formel für die Teilintervalle sehen. Zur Norm: schreib die erst mal ordentlich hin, dass man weiß, um welche es geht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2011, 17:09

Hamsterchen

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was ist denn mit der formel die ich oben hingeschrieben habe? das ist doch eine abschätzung für die teilintervalle....

21.06.2011, 17:13

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \vert f(x)-s(x)\vert\leq (b-a)^2\max\limits_{t\in[a,b]}\frac{\vert f''(t)\vert}{2} \end{eqnarray*}$

[a,b] ist kein Teilintervall...

21.06.2011, 17:17

Hamsterchen

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ich hab doch vor ein paar posts (um 22:50 gestern) die formel umgeschrieben mit den teilintervallen von x_i bis x_{i+1}.......

21.06.2011, 17:21

tigerbine

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Ach da. So, und sagst du mir nun , was für eine Norm gemeint ist? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Z.z.: $\begin{eqnarray*} \vert f(x)-s(x)\vert\leq\frac{h^2}8\Vert f''(x)\Vert_{[a,b]}\,\forall x\in[a,b] \end{eqnarray*}$

verwirrt

Bin dann erst mal weg.

21.06.2011, 17:46

Hamsterchen

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ich hab keine ahnung, welche norm gemeint ist. In der Aufgabe steht nicht mehr dabei.

Ich hatte auch schonmal gegoogelt und habe nur diese Formel gefunden:

$\begin{eqnarray*} \Vert f\Vert=\sqrt{\int\limits_a^b\vert f(t)\vert^2dt} \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht, ob diese Norm gemeint ist. Ich kenne sonst aber auch keine...

21.06.2011, 18:44

tigerbine

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Es wird ws schon die Supremumsnorm. gemeint sein, aber du musst doch eure Notation kennen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Faktor 1/8 fällt etwas aus der Reihe. Dazu muss man das ganze Wohl als Hermite Interpolation ansehen und kann ihn daraus gewinnen. Nachzulesen in G. Opfer, Numerische Mathematik für Anfänger, Thema lineare Splines.

21.06.2011, 21:11

Hamsterchen

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Hi Tigerbine,
erstmal danke für deine Antwort und sorry für meine späte Antwort, war noch in der Krankengymnastik.

Also wie gesagt, es steht nirgends, welche Norm das sein soll. Ist mit der Supremumsnorm dann gemeint, dass man sich alle Funktionswerte betrachtet und dann den betragsgrößten Wert davon nimmt???

Ok und zu den anderen beiden von dir genannten Dingen:
Wir hatten weder Hermite Interpolation noch Splines, also diese Hermite Interpolation ist die nächste Aufgabe, deswegen glaube ich nicht, dass wir die in dieser Aufgabe schon brauchen.

Gibt es denn keinen anderen Weg das zu lösen?

LG
Hamsterchen

21.06.2011, 21:15

tigerbine

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Der Inhalt der Aufgaben richtet sich doch nicht nach der Position auf dem Zettel. Ich habe dir eine Quelle für den Beweis genannt. Mehr kann ich nun auch nicht mehr tun. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Norm und Definition hatte ich doch verlinkt. Es geht um das Supremum [so was muss ja nicht angenommen werden, nur um es mal von dem Begriff Maximum abzugrenzen]

21.06.2011, 22:14

Hamsterchen

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Hi Tigerbine,
ja natürlich richtet sich das nicht nach der Reihenfolge, aber ich finde es trotzdem etwas blöd, wenn ich einer AUfgabe so viele unbekannte Sachen vorkommen. Woher soll man denn wissen, wonach man suchen soll, wenn es einem nicht gerade im matheboard gesagt wird?

Naja gut, also ich werde, wahrscheinlich aber erst morgen, mir die Sachen die du genannt hast mal ansehen. Danke nochmals

Wenn noch was unklar ist, dann melde ich mich nochmal

LG und gute Nacht

21.06.2011, 22:33

tigerbine

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Zitat:

Original von Hamsterchen
Hi Tigerbine,
ja natürlich richtet sich das nicht nach der Reihenfolge, aber ich finde es trotzdem etwas blöd, wenn ich einer AUfgabe so viele unbekannte Sachen vorkommen. Woher soll man denn wissen, wonach man suchen soll, wenn es einem nicht gerade im matheboard gesagt wird?

Das musst du den Prof fragen.

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