Irrfahrt auf Z

20.06.2011, 18:05	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Irrfahrt auf Z Hey Leute! Ich behandle grade eine Irrfahrt auf den ganzen Zahlen für einen Seminarvortrag: Man startet in 0 und geht mit Wkt. $\begin{eqnarray} \frac12 \end{eqnarray}$ entweder einen Schritt nach links oder zwei Schritte nach rechts. Gesucht ist die Wkt. $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , von der 0 zur -1 zu gelangen. Dies führt zu einer Kubischen Gleichung mit 3 Lösungen, von denen eine wegfällt weil sie negativ ist. Es bleiben: $\begin{eqnarray} p=1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} p=\frac{\sqrt{5} -1}{2} \end{eqnarray}$ , wobei ich weiß, dass letzteres die richtige Wkt. ist. Die Frage ist, wie ich zeigen kann, dass die Wkt. $\begin{eqnarray} p=1 \end{eqnarray}$ nicht in Frage kommt? Allerdings krieg ich das nicht hin, kann mir jemand helfen? Grüße
20.06.2011, 20:49	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irrfahrt auf Z Machen wir die Sache erst mal komplizierter. Man gehe mit Wahrscheinlichkeit p nach links und mit Wahrscheinlichkeit 1 - p nach rechts. Es sei x(p) die Absorptionswahrscheinlichkeit im Punkt -1. Dann ergibt sich aus der kubischen Gleichung $\begin{eqnarray} x(p \geq \frac {2}{3})=1 \end{eqnarray}$ Für p >= 2/3 ist das nämlich die einzige Lösung mit 0 <= x(p) <=1. Andererseits hat man die Reihendarstellung $\begin{eqnarray} x(p)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k p^{2k+1}(1-p)^k=p\sum_{k=0}^{\infty}a_k (p^2(1-p))^k=pf(p) \end{eqnarray}$ wobei man über die Koeffzienten nichts wissen muss. Aus $\begin{eqnarray} x(\frac{2}{3})=1=\frac{2}{3}f(\frac{2}{3}) \end{eqnarray}$ hat man $\begin{eqnarray} f(\frac{2}{3})=\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ Nun hat $\begin{eqnarray} p^2(1-p) \end{eqnarray}$ bei p =2/3 ein lokales Maximum und ist ansonsten für p in [0, 1] echt kleiner als das Maximum. Daraus folgt: $\begin{eqnarray} f(p)<f(\frac{2}{3})=\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ für p in [0,1] und p <> 2/3. Das ergibt nun $\begin{eqnarray} x(p)<\frac{3}{2}p \end{eqnarray}$ für p in [0,1] und p <> 2/3. Und daraus folgt wiederum $\begin{eqnarray} x(p)<1 \end{eqnarray}$ für p < 2/3
20.06.2011, 20:58	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Huggy! Puuh, das muss ich erstmal verdauen. Scheint aber, als könne ich alles nachvollziehen. Vielen vielen vielen Dank, ich wäre da nie selbst drauf gekommen!
20.06.2011, 21:04	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach deinem vorigen ähnlichen Thread kamen mir noch ein paar Gedanken, von denen ich jetzt profitiert habe. Wahrscheinlich gibt es auch eine mehr stochastische Argumentation. Aber ich betrüge die Stochastiker gern, solange es ein sauberer Betrug ist.
20.06.2011, 21:09	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Allerdings, die Ähnlichkeit zu dem letzten Problem fiel mir auch schon auf Mal sehen, was da die Korrektur des Übungszettels ergibt! Bei der Betrugssache bin ich total deiner Meinung

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