Integral über Kegel kartesische Koordinaten

20.06.2011, 19:05

GashSash

Integral über Kegel kartesische Koordinaten

Meine Frage:
Hallo liebe Mathegemeinde,

und zwar bereitet mir die Volumenberechnung eines Rotationssymmetrischen Kreiskegels im kartesischen Koordinatensystem (R^3) mittels Mehrfachintegration Kopfzerbrechen. Ich habe es bereits versucht zu rechnen(siehe Ansatz). Ich bekomm dann ein Integral, was ich mir von nem Tool berechnen hab lassen. Setze ich dort die Grenzen ein, müsste ja die allgemeine Formel fürs Kreiskegelvolumen rauskommen, tuts aber nicht :/
Kann mir jmd helfen? Wo liegt mein Denkfehler?
Das das Ganze in Zylinderkoordinaten einfach geht, ist mir schon klar. Wollte aber das mal grundsätzlich so auch verstanden haben. Wär super, wenn mir jmd helfen könnte. Vielen Dank

Meine Ideen:
Mein Ansatz:
Das Koordinatensystem liegt im Mittelpunkt des Grundkreises. Ich betrachte nur das Kegelsegment im 1. Raumquadranten, das Ganze mal 4 aufgrund der Symmetrie.
$\begin{eqnarray*} 4*h* \int_0^r \! \sqrt{r^2 - x^2}*(1-x/r) \, dx \end{eqnarray*}$

mein eigentliches ansatz war folgender:
$\begin{eqnarray*} \int_0^r \! \int_0^z \! \int_0^y \! 1 \, dx \, dz \, dx \end{eqnarray*}$
Wobei die Grenze $\begin{eqnarray*} z = h*(1-x/r) \end{eqnarray*}$
und die Grenze $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{r^2 - x^2} \end{eqnarray*}$

20.06.2011, 22:54

Gast13z8453

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat niemand eine Idee?

20.06.2011, 23:48

kasi

Auf diesen Beitrag antworten »

also zuersteinmal musst du dir über die grenzen deiner einzelnen integrationen klar werden. diese sind davon abhängig wie der Zylinder im raum liegt oder steht.

seine grundfläche kann ja auf verschiedenen achsen stehen.

idr ist die integrationsreihenfolge durch

dz dy dx gegeben, die kann aber wenn du die grenzen richtig wählst vertauscht werden.

21.06.2011, 00:36

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast das Volumen in Zylinderkoordinaten schon berechnet und das hat funktioniert?
Und hast auch die Funktionaldeterminante verwendet? Und alles in Ordnung?

Und jetzt das Ganze mit Methode 2. Warum nicht?!
--------------------------------------------------------------------------------------------
Vielleicht aber zuerst die simple Methode 3 versuchen, mittels Rotation der Randfunktion.

Der Kegel hat die z-Achse als Symmetrieachse und für den Grundkreis gilt z=0.

Der GrundkreisRadius sei R (nicht r, [ wird evtl noch gebraucht]) die Höhe h.

die Randfunktion nun als z(x) [ es geht auch z(y) ] aufgestellt und das einfache Integral zum Rotationsvolumen

$\begin{eqnarray*} V=\int _0^h \pi x^2 \dd z \end{eqnarray*}$ berechet.

21.06.2011, 01:29

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

bin morgen erst spät am board, deshalb noch Folgendes:

auch beim Integrieren im Raum sollte man sich klar darüber sein, was man tut.
Obiges Integral ist der Limes der Summe von kleinen waagrechten Zylinderscheiben der Dicke dz.

Man kann den Kegel auch als Limes der Summe von senkrechten Hohlzylindern der Dicke dx auffassen,. dann gilt

$\begin{eqnarray*} V=\int \limits _{0}^{R} ~\int \limits _{0}^ {h(1-\frac x R)} \underbrace {2 \pi x}_{Kreis} \dd z \dd x \end{eqnarray*}$

beide Integrale bitte berechnen. [sollten beide die Schulformel bestätigen]
------------------------------

das Volumen als Dreifachintegral mit dem Differential dzdydx und dem Integranten "1" ist ein wenig "künstlich", aber sicher möglich.

Ich hoffe, etwas zum Verständnis beigetragen zu haben...

21.06.2011, 10:44

Gueset812391892

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} V=\int \limits _{0}^{R} ~\int \limits _{0}^ {h(1-\frac x R)} \underbrace {2 \pi x}_{Kreis} \dd z \dd x \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht ganz. Die beiden ersten Grenzen sind mir klar, das 2*pi*x kann ich aber nicht nachvollziehen. Ist ja der Umfang, aber passt der in dem fall rein?

Vielleicht beschreib ich mein Problem nochmal genauer.
Mein Zylinder liegt so wie auf dem Bild(Anhang) im Raum. Nehmen wir nun an, ich bewege mich auf der y-Achse von 0 bis r. Mein x nimmt nimmt auf dem weg von y = 0 bis y = r die Werte $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$ , also ein Halbkreis, an richtig? Mein y und x ist jetzt fest, welchen Wert nimmt z an? Z hängt vom abstand des punktes P(X,Y) zur z-achse ab. Die obere Grenze für z errechnet sich also zu
$\begin{eqnarray*} (1-\sqrt{x^2+y^2}/r)*h \end{eqnarray*}$ . Korrekt? (Ja, die grenze ist anders, also oben im erten beitrag, aber das scheint mir logischer).
Dann hab ich doch folgendes dasstehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{r} \! \int_{0}^{\sqrt{r^2-x^2}} \! \int_{0}^{(1-\sqrt{x^2+y^2}/r)*h} \! 1 \, dz \, dy \, dx \end{eqnarray*}$

Dieses Integral erstreckt sich gelöst zwar über mehrere Seiten, müsste aber korrekt sein, oder? Also Prinzipiell von den Grenzen her, oder? Ich möchte das nur mal verstanden haben, wie die einen Grenzen von den anderen abhängen. Dass ich das volumen über rotation um eine Achse(siehe Schule) oder mit Zylinderkoordinaten berechnen kann, ist mir klar.

21.06.2011, 10:48

GashSash

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nochmal der Anhang, hat grad nicht funktioniert:
[attach]20230[/attach]

21.06.2011, 11:10

GashSash

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier hab ich nochmal versucht, meinen Gedankengang zu veranschaulichen!

[attach]20231[/attach]

21.06.2011, 20:48

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

könntest du vielleicht bei einem Namen bleiben?

Zitat:

Original von Gueset812391892

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} V=\int \limits _{0}^{R} ~\int \limits _{0}^ {h(1-\frac x R)} \underbrace {2 \pi x}_{Kreis} \dd z \dd x \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht ganz. Die beiden ersten Grenzen sind mir klar, das 2*pi*x kann ich aber nicht nachvollziehen. Ist ja der Umfang, aber passt der in dem fall rein?

Der Kreis 2*pi*x wird mit dx zum Kreisring und mit dz zum Hohlzylinder.
Solltest du schon nachvollziehen können. Auf jeden Fall stimmt das Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} V=4 \cdot \int_{0}^{r} \! \int_{0}^{\sqrt{r^2-x^2}} \! \int_{0}^{(1-\sqrt{x^2+y^2}/r)*h} \! 1 \, dz \, dy \, dx \end{eqnarray*}$

die Grenzen scheinen nun plausibel.
Numerische Auswertung ist auch in Ordnung!

21.06.2011, 23:29

GashSash

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
Der Kreis 2*pi*x wird mit dx zum Kreisring und mit dz zum Hohlzylinder.
Solltest du schon nachvollziehen können. Auf jeden Fall stimmt das Ergebnis.

die Grenzen scheinen nun plausibel.
Numerische Auswertung ist auch in Ordnung!

Natürlich, habs verstanden! Damit sind dann alle Fragen geklärt, vielen Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Integral über Kegel kartesische Koordinaten

Verwandte Themen