Standardabweichung und Varianz der Binomialverteilung |
| 20.06.2011, 20:07 | MMA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Standardabweichung und Varianz der Binomialverteilung Moin ! Ich halte in einer Woche ein Referat im Fach Mathematik über das o.g. Thema. Ich habe mich gestern schon im Mathebuch eingelesen verstehe aber nicht so ganz um was es sich bei der Varianz und der Standardabweichung handelt. Binomialverteilungen sind an sich kein Problem ich weis nur nicht, was dieser Zahlenwert der Varianz ausdrückt. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ich mir erläutern könntet wofür diese Werte stehen, wie man sie am Schaubild erkennen/herleiten kann und mir allgemein ein bisschen Klarheit über dieses Thema verschafft. MfG Meine Ideen: Varianz ist die Abweichung vom Erwartungswert. Also je breiter die Glockenkurve ist, desto größer ist die Varianz |
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| 21.06.2011, 08:29 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schau mal hier |
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| 21.06.2011, 09:49 | MMA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auf Wikipedia habe ich natürlich auch schon nachgeschaut. Ich hätte es nur gerne mit eigenen Worten von einem Profi erklärt gehabt, falls dies nicht zuviel verlangt ist. Ich denke ihr könnt das besser als Wiki 
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| 21.06.2011, 11:25 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, die Varianz drückt die erwartete quadratische Abweichung einer Zufallsvariablen von Ihrem Erwartungswert aus. Ist die Varianz sehr klein, kann man erwarten, dass ein Großteil der Zufallsergebnisse nahe am Erwartungswert liegen. Ist die Varianz sehr groß ist zu Erwarten, dass sich die Zufallsergebnisse eher stark verteilen. Wie bei allem was mit Wahrscheinlichkeit zu tun hat, muss man aber immer aufpassen. Auch wenn die Varianz klein ist, kann es passieren das kein Wert irgendwie "nah" beim Erwartungswert ist wenn man das Experiment ausführt. Sowas ist aber für eine kleine Varianz dann sehr sehr unwahrscheinlich. |
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| 21.06.2011, 11:45 | MMA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok soweit habe ich jetzt die Varianz verstanden. Dann stimmt doch theoretisch meine Idee von Post 1 oder ? Und je weniger Fläche sozusagen unter der Glocke ist, desto kleiner die Varianz. Kann man das so sagen, weil wenn ich das meiner Klasse erklären muss wäre sowas vllt hilfreich
Und noch 2 andere Fragen : In meinem Mathebuch steht was von der Sigmaregel. Diese Verstehe ich nicht so ganz mit diesen 1,2,3 Intervallen. Und warum ist die Varianz das Quadrat der Abweichung? Kann man sich dies irgendwie herleiten? |
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| 21.06.2011, 12:27 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Fläche unter der Glocke ist immer 1. Das ist eine grundlegende Eigenschaft von Wahrscheinlichkeitsdichten (und sämtlichen Zufallsexperimenten). Für diskrete Zufallsexperimente ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten alles Ereignisse immer gleich 1 (irgendwas wird immer passieren). Für kontinuierliche Zufallsexperimente, wie bei der Gaußglocke, ist ganz analog die Fläche unter der Dichtefunktion immer gleich 1.
Naja, zunächst mal ist das eine Definition. Wenn mans genauer nimmt ist die Varianz das zweite, zentrierte Moment einer Zufallsvariable. Was die Sigmaregeln angeht, wa smeisnt Du genau? |
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| 21.06.2011, 12:52 | MMA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hätte doch wissen müssen, dass die Fläche immer 1 ist. o_O Aber je näher die Fläche am Erwartungswert konzentriert ist, desto kleiner ist doch die Varianz? Zur Sigmaregel: P(mü -1sigma <= X <= mü +1sigma) » 0,680 (1s-Regel) P(mü - 2sigma <= X <= mü + 2sigma) » 0,955 (2s-Regel) P(mü - 3sigma <= X <= mü + 3sigma) » 0,997 (3s-Regel) Diese verstehe ich nicht. Wie wendet man sie an und für was sind die gut? Wie bestimmt man das Sigmaintervall? |
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| 21.06.2011, 12:58 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit den Sigmaregeln kannst Du für die Binomialverteilung für Umgebungem um den Erwartungswert relativ schnell abschätzen ohne explizit rechnen zu müssen. Du erhältst zwar nicht das exakte Ergebnis, aber eine gute Näherung. Siehe auch hier |
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| 21.06.2011, 13:05 | MMA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok Danke 
Könntest mir vielleicht eine Beispielrechnung dazu zeigen,dass ich es mir besser vorstellen kann? |
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| 21.06.2011, 13:15 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da gibts nichts groß zu rechnen. Du hast den Erwartungswert einer Binomilaverteilten Zufallsvariable und willst schauen , wie Wahrscheinlich es ist, dass X um Sigma vom Erwartungswert abweicht. Und dafür kannst Du dann mit den Sigmaregeln ohne Rechnen sofort eine Abschätzung angeben. |
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| 21.06.2011, 15:03 | MMA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gibt es eigentlich einen Zusammenhang zwischen der Varianz/Streuung und den Sigmaregeln? |
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| 21.06.2011, 19:50 | MMA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe jetzt doch noch eine Frage: Soeben habe ich mich an einer Aufgabe versucht und weis nun nicht mehr weiter. Sie lautet: Ein Multiple-Choice-Test hat 20 Fragen mit jeweils 3 Antworten ( Nur eine davon ist richtig ) Ein Schüler hat 10 Fragen richtig. Nun soll man mit den Sigmaregeln schauen wie wahrscheinlich es ist mit nur raten ein solches Ergebnis zu bekommen. Mein Ansatz: p = 1/3 n = 20 Die Sigmaintervalle habe ich somit schnell aufgestellt und die "10" liegt nur im ersten NICHT. Was fange ich nun aber mit diesem Resultat an? Im Lösungsbuch stand, da die Wahrscheinlichkeit für das 1. Sigmaintervall ~70% beträgt rät der Schüler mit 30 %. Diesen Schritt verstehe ich nicht. Allgemein weis ich auch noch nicht was einem die Sigmaregeln bringen, wenn X in jedem Intervall vorhanden ist. Ich wäre für jede Hilfe dankbar |
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| 21.06.2011, 20:39 | MMA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sry für den 3-fach Post es ist aber dringend. Wenn z.B. für eine Binomialverteilung n=1000, p=0,4 gegeben sind Durch die 3. Sigmaregel gilt ja P(353<=X<=447) = ~ 1 Wenn man nun aber P(X<360) berechnet, warum kommt dann ein Wert nahe Null heraus? <360 oder auch = 360 ist doch im 3. Sigmaintervall somit müsst doch nahezu 1 herauskommen oder? |
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| 22.06.2011, 10:33 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir fällt jetzt keiner ein, aber dass schließt nicht aus, dass es diesen gibt (dazu müsste ich allwissend sein um so einen Schluss zu ziehen
)
Für die Sigmaregeln brauchst Du den Erwartungswert. Der Erwartungswert der Binomialverteilung mit den Parametern p und n ist p*n, also für unser Beispiel 20/3. Es ist also zu erwarten, dass 20/3 der Antworten beim Raten richtig sind. Die Sigmaregel sagt jetzt : |
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| 22.06.2011, 10:50 | MMA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
[latex]p(20/3 - \sigma \leq X \leq 20/3 + \sigma >0.7 [latex] Mir ist verständlich wie ich eine Sigmaregel "aufstelle" ich weis aber nicht wie ich sie "benutzen" soll. Die "10" liegt jetzt ja nicht im 1.Sigmaintervall. Aber im 2. Warum nimmt man nun die Gegenwahrscheinlichkeit zum 1. Sigmaintervall (30%) für die Wahrscheinlichkeit das er nur rät. Und warum ist das Sigmainterval größer 0.7? Ich hoffe es ist klar was ich meine |
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| 22.06.2011, 11:33 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Erwartungswert ist , wie schon gesagt 20/3. Sigma ist Damit ist Sigma nicht größer als 3, und damit kann man die Sigmaregeln nicht anwenden. Hast Du mal den exakten Wortlaut der Aufgabe? |
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| 22.06.2011, 11:42 | MMA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aufgabe: Bei einem Multiple-Choice-Test mit 20 Fragen sind jeweils 3 Antworten vorgegeben, von denen nur eine richtig ist. Florian hat 10 Antworten richtig. X sei die Anzahl der richtigen Antworten. Gib für k=1,2,3 jeweils das k*sigma-Intervall an, in dem die Zahl 10 liegt bzw. nicht liegt. Diskutiere damit, wie wahrscheinlich es ist, dass Florian nur rät. Die Sigmaintervalle aufzustellen stellt für mich aber kein Problem dar. |
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| 22.06.2011, 14:21 | MMA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Grundsätzlich verstehe ich jetzt die Sigmaregeln. Nur habe ich Probleme sie auch anzuwenden. Hätte jemand mal eine Aufgabe für mich, die ich rechnen könnte ? Ich würde dann den Lösungsweg posten und ihr könntet ihn kontrollieren |
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| 23.06.2011, 07:14 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie Du richtig errechnet hast, liegt die 10 im zweiten Sigmainterval. Das erste Sigmainterval liefert eine Abschätzung dafür, wie Wahrscheinlich es ist, dass ein Ereignis in jenem Interval liegt. Nun liegt die 10 nicht im ersten Sigmainterval. Das bedeutet, die 10 liegt im Rest. Wenn die Wahrscheinlichkeit des Sigmaintervals > 0.7 ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit vom Rest < 0.3. Und so haben wir das Ergebnis. Aber wie gesagt, laut den Voraussetzungen der Sigma-Regeln müsste Sigma eigentlich > 3 sein. |
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| 23.06.2011, 12:02 | MMA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Noch eine Frage dazu: Ich habe jetzt nochmal nachgerechnet: Das erste Sigmainterval geht gerundet von 5 bis 9. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass er 5,6,7,8 oder 9 Antworten richtig rät ~ 70% oder? Somit müssten sich doch die 30% aufteilen, dass für <5 15% und für >9 15 % sein ? Und ist das 2. Sigmainterval hier ungeeignet, weil die Spanne so groß ist? 2 bis 11 richtige Antworten mit ~ 95% ? |
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| 23.06.2011, 15:03 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit den Sigmaintervallen gibt man Schätzungen ab. Da die 10 nicht im ersten Sigmainterval liegt, liegt sie im Rest. Der Rest hat höchstens eine Wahrscheinlichkeit von 30%. Hier wird nichts aufgeteilt. |
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