Funktion für Gebietsintegral

20.06.2011, 22:43

stefanz.

Funktion für Gebietsintegral

Hallo
ich habe eine Aufgabe zum Thema Gebietsintegrale wo ich nicht weiterkomme.

Es ist ein Gebiet gegeben das von den Kurven

$\begin{eqnarray*} k_1:y=3(x^{2}-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_2: y=2(x-1) \end{eqnarray*}$

begrenzt wird.

Jetzt soll ich G als Normalbereich beschreiben und den Flächeninhalt berechnen durch ein Doppelintegral und einer geeigneten Funktion f.

Dazu habe ich 2 Fragen..was ist mit der Beschreibung des Normalbereichs gemeint?
Einfach eine Skizze machen in der man das Gebiet G sieht?

Meine eigentliche Frage, wie kann ich eine geeignete Funktion f finden?

schonmal vielen dank für jeden Tipp

Gruß Stefan

20.06.2011, 23:09

Mulder

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RE: Funktion für Gebietsintegral

Vielleicht schlägst du nochmal den Begriff Normalbereich nach. Das klärt vielleicht schon all deine Fragen.

Die Fläche kannst du ja auch einmal mittels einem Doppelintegral berechnen, aber auch ganz elementar (in dem Sinne, dass das dann Schulstoff ist) als "einfaches" Integral über eine geeignete Funktion f. Letzteres eignet sich dann auf jeden Fall zur Ergebniskontrolle.

20.06.2011, 23:49

stefanz.

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RE: Funktion für Gebietsintegral
das zum aufstellen des Normalbereichs habe ich mir durchgelesen.

ich versuche es mal mit dem Doppelintegral

die festen Grenzen habe ich für dx gewählt

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{3}\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$

für dy

$\begin{eqnarray*} 3x^{2}-3\leq y\leq 2x-1 \end{eqnarray*}$

allerdings mit der Funktion die ich wählen muss, das habe ich noch nicht verstanden

20.06.2011, 23:53

Mulder

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RE: Funktion für Gebietsintegral

Zitat:

Original von stefanz.
allerdings mit der Funktion die ich wählen muss, das habe ich noch nicht verstanden

Naja, um den Flächeninhalt zu bekommen, integriert man doch einfach über die 1, also einfach

$\begin{eqnarray*} \int_G \dd (x,y) \end{eqnarray*}$

21.06.2011, 00:12

stefanz.

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alles klar danke. smile

Sind meine gewählten Grenzen richtig? Ich habe als Schnittpunkt der beiden Funktionen

$\begin{eqnarray*} x=\frac{-1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{-5}{3} \end{eqnarray*}$

habe jetzt mal alles durchgerechnet, komme allerdings nur auf $\begin{eqnarray*} \frac{68}{27} \end{eqnarray*}$ anstatt auf $\begin{eqnarray*} \frac{32}{27} \end{eqnarray*}$

Rätsel gerade woran es liegen könnte

21.06.2011, 00:18

Mulder

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Zitat:

Original von stefanz.
Ich habe als Schnittpunkt der beiden Funktionen

$\begin{eqnarray*} x=\frac{-1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{-5}{3} \end{eqnarray*}$

y=-5/3 stimmt nicht, das solltest du allein schon an der Skizze sehen können. Und es gibt ja auch noch einen zweiten Schnittpunkt. Aber die y-Koordinate der Schnittpunkte braucht man ja ohnehin nirgends konkret, insofern wird das wohl nicht die Fehlerquelle sein.

Zitat:

Original von stefanz.
Rätsel gerade woran es liegen könnte

Wenn du schon rätseln musst, wie kann ich es dann wissen? Augenzwinkern

Was du falsch gemacht hast, kann ich erst sagen, wenn du deine Rechnungen zeigst. Ich komme jedenfalls auch auf 32/27.

21.06.2011, 00:31

stefanz.

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als Rechnung habe ich $\begin{eqnarray*} \int_{\frac{-1}{3}} ^1 \! \int_{3x^{2}-3} ^{2x-1} \! 1 \, dx \, dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \int_{\frac{-1}{3}} ^1 \! -3x^{2}+2x+2 \, dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \left[-x^{3}+x^{2}+2x \right]_{1}^{\frac{-1}{3} } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{68}{27} \end{eqnarray*}$

21.06.2011, 00:39

Mulder

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Die obere Grenze ist nicht 2x-1, sondern 2(x-1)=2x-2.

Und warum rechnest du unten dann "untere Grenze minus obere Grenze"? Man rechnet doch "obere Grenze minus untere Grenze".

21.06.2011, 00:53

stefanz.

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da hab ich die Grenzen ausversehen vertauscht, hier auf dem Blatt hatte ich sie richtig notiert. Der Fehler war tatsächlich mit dem 2x-2..ich bekomme jetzt auch das richtige Ergebnis.

Danke für die Gedult und Hilfe Freude

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