Schwaches und Starkes Gesetz Der Großen Zahlen

14.12.2006, 17:14

Seb17

Schwaches und Starkes Gesetz Der Großen Zahlen

Auch bei folgender Aufgabe wäre ich für Tipps und Tricks dankbar Augenzwinkern

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\in\mathbb{N}},(Y_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ zwei Folgen reellwertiger P-integrierbarer Zufallsvariablen auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(E[X_n]-E[Y_n]\right)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty P(X_n\neq Y_n)<\infty. \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ genügt dem starken Gesetz der großen Zahlen, wenn $\begin{eqnarray*} (Y_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ dem starken Gesetz der großen Zahlen genügt.

Hinweis: Betrachten Sie

$\begin{eqnarray*} U_n:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-E[X_i]) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_n:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Y_i-E[Y_i]) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (U_n-V_n)=0\ \end{eqnarray*}$ P-f.s.

Also: Da ja hier zwei reellwertige P-integrierbare Folgen von ZV vorliegen, liegt nahe - insbesondere unter Betrachtung des Hinweises - dass hier das schwache Gesetz der großen Zahlen ins Spiel kommen muss

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} U_n = 0 \end{eqnarray*}$ P-f.s. und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} V_n = 0 \end{eqnarray*}$ P-f.s. müssen doch gezeigt werden, um dann das Ganze auch für die Differenz zu zeigen oder? Wie würde ich dann weiter machen, um die zentrale Aussage zu beweisen?

edit von sqrt(2): Seitenbreite

18.12.2006, 00:43

Seb17

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Hat vielleicht noch jemand Tipps oder Tricks? Wäre super Augenzwinkern

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