Theorie der Differenzenquotientenfunktion

20.06.2011, 23:02

moclus

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Theorie der Differenzenquotientenfunktion

Ich muss sehr wahrscheinlich in Mathe in die mündliche Prüfung und da kann man sich schon so auf einiges gefasst machen .. :S

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(x_{0}) }{x - x_0} \end{eqnarray*}$

Ich habe bisher nie verstanden was dieser Differenzenquotient bewirkt, nur, dass es die "Definition" der Ableitung einer Funktion ist. Auch die graphische Veranschaulichung dazu, sowie zahlreiche Texte helfen mir nicht weiter, da ich einfach nicht verstehe, was hinter der "Sekante" steckt ... die Sekante ist doch eine Annäherungsgrade?! Wozu brauch man dann die Tangente, wenn die Sekantensteigung (die ja mithilfe der DQF) ermittelt wird, der Steigung der Tangente am Punkt $\begin{eqnarray*} P_{0} \end{eqnarray*}$ entspricht? Auch die Grenzwertbildung mithilfe der DQF versteh ich nicht so ganz ...

wird der gebildet (da man sich in der Theorie) so nah an die Kurve annähert, bis man einen kleinen "linearen" Punkt gefunden hat? Oder hat dies etwas mit der Stetigkeit einer Funktion zu tun da ... $\begin{eqnarray*} x \neq x_{0} \end{eqnarray*}$ ist ?!

Danke im vorraus..

21.06.2011, 00:24

tigerbine

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RE: Theorie der Differenzenquotientenfunktion
Die Ableitung ist der Differentialquotient ("Tangentensteigung"), nicht der Differenzenquotient (Sekantensteigung).

21.06.2011, 14:56

moclus

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aber eins versteh ich da nicht tigerbine ...
In der Schule wird das alles so "waage" erklärt sag ich mal ...
Wenn die Differentialquotientenfunktion ausgerechnet wird, bildet man noch den Grenzwert... (in dem man den nicht definierten Wert, also $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ in die vereinfachte Funktion einsetzt ...

muss man denn eigentlich nicht auch überprüfen ob dann der links- und der rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen um zu wissen ob diese Funktion an der Stelle "differenzierbar" ist? Unser Lehrer hat das nie gemacht ...

Vorallem ist die Sekante doch eine Annäherungsgrade? Warum benutzt man dan denn Differentialquotient um die Steigung an der Stelle zu bestimmen? ...

Irgendwie versteh ich das nicht so ganz unglücklich

unglücklich

....

edit -> Ich sehe auf wikipedia das der differenzenquotient die grenzwertbildung ist :o ... ich bin irgendwie total durcheinander ... gibt es irgendeine Seite wo das ganz ausführlich behandelt wird? Ich find alle diese Erklärungen auch im Mathematikbuch sehr waage .. und die gehen ziemlich präzise ran in den Prüfungen =/

21.06.2011, 15:26

moclus

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ich lese folgendes auf wikipedia :

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_{1})-f(x_{0}) }{x-x_{0}} \end{eqnarray*}$

Also ist das der Differenzenquotient!

Der Differentialquotient ... :

$\begin{eqnarray*} f'(x_{0}) = \lim_{x_{1} \to x_{0} } \ \frac{f(x_{1})-f(x_{0}) }{x-x_{0} } \end{eqnarray*}$

Ist das eigentlich die vereinfachte Darstellung wenn man den Grenzwert bildet?! Oder hat dies mit der eigentlichen Ableitung garnichts mehr zu tun ..?

Man bildet ja beim "Differenzenquotient" sonst auch den Grenzwert...

Wo ich doch grade dabei bin, wieso wurde eigentlich der Wert $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$
geprägt, bzw $\begin{eqnarray*} P_{0} \end{eqnarray*}$ ?

Ist dies unter mathematischen Gesichtspunkten gleichwertig wenn ich $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ schreiben würde?

edit ->
Also ist die Sekantensteigung doch nichts anderes als ...
$\begin{eqnarray*} \frac{y_{1}-y_{0} }{x_{1}-x_{0} } \end{eqnarray*}$
?

21.06.2011, 17:13

tigerbine

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_{1})-f(x_{0}) }{x_1-x_{0}} \end{eqnarray*}$

Also ist das der Differenzenquotient!

Der Differentialquotient ... :

$\begin{eqnarray*} f'(x_{0}) = \lim_{x_{1} \to x_{0} } \ \frac{f(x_{1})-f(x_{0}) }{x_1-x_{0} } \end{eqnarray*}$

Sofern man nicht durch 0 teilt, gibt es die Differenzenquotienten immer. Warum sollte der Grenzwert denn generell existieren? Falls er existiert, nennt man ihn eben die Ableitung/Differentialquotient. Aber das ist doch keine vereinfachte Darstellung.

Du musst auch genauer lesen. Man muss der Stelle, an der man sich für Die Ableitung interessiert eben einen Namen geben. Ob x0 oder Paul ist doch wurscht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

muss man denn eigentlich nicht auch überprüfen ob dann der links- und der rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen um zu wissen ob diese Funktion an der Stelle "differenzierbar" ist? Unser Lehrer hat das nie gemacht ...

Der Pfeil -> ist nicht gerichtet, beinhaltet also beide Richtungen, im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} \uparrow, \downarrow \end{eqnarray*}$

Ich empfehle dir dringend, dir einen echten Nachhilfelehrer, wenn auch nur für 2 Stunden zu nehmen. Via Internet ist es sehr schwer, deinen Mix aus "Keine Ahnung" und "Prüfungspanik" zu entwirren.

Viel Glück.

23.06.2011, 13:42

moclus

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hab mich damit intensiver beschäftigt und fange an was dahinter steckt schon etwas besser zu verstehen, doch eins geht nicht rein:

Wieso ist in diesem Fall "der links und rechtsseitige Grenzwert" nicht von Bedeutung?
Diese eine Antwort würde mir wirklich helfen ...=)

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23.06.2011, 15:39

tigerbine

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Ich habe nicht gesagt, dass das nicht von Bedeutung ist, sondern dass man mit "->" ausdrückt, dass man beide Grenzwerte berechnet hat und diese übereinstimmen.

23.06.2011, 15:56

moclus

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also muss man grundsätzlich schon den links und rechtsseitigen grenzwert berechnen :o ... wird dies in der schule einfach übersprungen!?

23.06.2011, 16:20

tigerbine

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Wie oft muss ich noch sagen, dass wenn man -> hinschreibt, es für beide steht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und zu deiner Schule werde ich mich nicht äußern.

Batrachte doch mal f(x)=|x| in x=0. Was ist dann "lim x -> 0 f(x)"?

23.06.2011, 16:21

moclus

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ich glaube die ist an dieser Stelle nicht differenzierbar oder :x ... ?!

23.06.2011, 16:32

tigerbine

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Glaube heißt nicht wissen. Also, eine fundierte Begründung bitte.

23.06.2011, 18:45

moclus

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in diesem Fall stimmen links- und rechtsseitiger Grenzwert nicht ein! Aber das versteh ich ja wiederrum nicht, warum man da drauf achten muss =(!!

23.06.2011, 18:53

tigerbine

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Wenn sie nicht übereinstimmen => nicht differenzierbar. Stimmen sie überein, nennt man den Grenzwert "Ableitung" im Punkt x=0.

23.06.2011, 19:26

moclus

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und das ist ja die frage die ich immer noch habe doch irgendwie glaub ich antwortest du da versteckt drauf und möchtest wohl das ich drauf komme =)

Also ist es IMMER notwendig das zu prüfen, wenn es doch auch Fälle gibt, wo die Grenzwerte an einem Punkt von links und rechts nicht übereinstimmen?

Wie kann ich das denn wissen das die nicht übereinstimmen wenn ich einfach nur den Grenzwert gegen einen Punkt bilde und links und rechtsseitige Betrachtung garnicht berücksichtige?

Das ist irgendwie der Punkt der noch nicht so in mein Schädel will!!!

23.06.2011, 19:37

tigerbine

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Zitat:

Wie kann ich das denn wissen das die nicht übereinstimmen wenn ich einfach nur den Grenzwert gegen einen Punkt bilde und links und rechtsseitige Betrachtung garnicht berücksichtige?

Weil du mir nicht zuhörst. Man kann den Grenzwert nicht einfach bilden. In dem "->" steckt drin, dass man so rechnet, dass es für beide Seiten stimmt, oder man eben eine Fallunterscheidung machen muss.

Dass in Rechnungen nicht immer 2 Fälle auftauchen liegt nur daran, dass es in den "Gleichungen" dann keine Rolle spielt, ob man von links oder rechts kommt. Man muss sich das aber bewusst machen. smile

smile

23.06.2011, 21:26

moclus

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mal ein Beispiel Tigerbine:

Die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=-0,1x^4+0,6x^3-0,1x^2-2,4^x+2 \end{eqnarray*}$
liefert mir beim links- und rechtsseitigen grenzwert zwei verschiedene ergebnisse...
trotzdem ist die Ableitung am Punkt $\begin{eqnarray*} x_{01} = 1 \end{eqnarray*}$ möglich unglücklich

unglücklich

??

Ich bekomm beim linksseitigen Grenzwert -1,413 raus .. und beim rechtsseitigen total die merkwürdigen Werte -1,197 und sowas ... :O ?
Ich wollte das nur mal ausprobieren!! Doch bin jezt schon wieder verwirrt!

edit:
moment ... die links und rechtsseitige betrachtung erfolgt doch für den ausgerechneten DQF oder? Nicht für die allgemeine Form des Polynoms?!

23.06.2011, 21:34

tigerbine

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Echt mit Exponent? Oder eher so?

$\begin{eqnarray*} f(x)=-0.1x^4+0.6x^3-0.1x^2-2.4x+2 \end{eqnarray*}$

Vorab, die Lösung ist

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-0.4x^3+1.8x^2-0.2x-2.4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(1)=-0.4+1.8-0.2-2.4=-1.2 \end{eqnarray*}$

Zu betrachten ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \end{eqnarray*}$

oder in der h-Form

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \end{eqnarray*}$

Es würde sich hier nun aber lohnen, die Herleitung der Potenzregel zu verstehen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzregel

Dann kann man die Ableitungsfunktion (f ist in jedem Punkt diffbar) leichter bestimmen. Dort ist $\begin{eqnarray*} h =\triangle x \end{eqnarray*}$

23.06.2011, 21:53

moclus

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ja tut mir leid für den fehler mit dem x im exponent :O !!
Vielen dank tigerbine!!!

Doch da hab ich dochmal direkt noch eine interessante frage an dich!!
Wäre es unter mathematischen Gesichtspunkten gleichwertig, die Epsilon umgebung selber zu bestimmen und es einfach in den Funktionswert einzusetzen?

Ich möchte dir mal zeigen wie ich das mache:
$\begin{eqnarray*} f(x)=0,1x^4-x^2+0,9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0,4x³-2x \end{eqnarray*}$

Nun würde ich mir selber eine Epsilon umgebung aussuchen und es ausprobieren z.B.
E = 0,0001

Es ist der Punkt $\begin{eqnarray*} x_{01}=2 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2-} (0,4*1,9999³-2*1,9999) =-0,800... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2+} (0,4*2,0001³-2*2,0001) =-0,799... \end{eqnarray*}$

das kommt also genau auf die Steigung zu die ermittelt wird in der ersten Ableitung. Doch ist diese Methode effektiv genug um sie immer anzuwenden?
Ich kenn da nichts anderes ... doch hab da heftige Kritik mal bekommen...

23.06.2011, 22:02

tigerbine

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Zitat:

Wäre es unter mathematischen Gesichtspunkten gleichwertig, die Epsilon umgebung selber zu bestimmen und es einfach in den Funktionswert einzusetzen?

Eine konkrete Zahlenwahl fällt mathematisch durch. Ich baue dir sofort eine Funktion, wo du damit auf die Nase fällst.

23.06.2011, 22:09

moclus

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und da funktioniert das nicht =/ ?!

23.06.2011, 22:18

tigerbine

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So ist es. Konkrete Werte können klappen, aber müssen es nicht. Solltest du also nicht als "Verfahren" nennen.

23.06.2011, 22:20

moclus

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Kannst du mir denn vllt ein Beispiel zeigen wo es nicht funktioniert, bzw. mich auf eine Seite verweisen welche "Methode" ich für die links- und rechtsseitige Betrachtung anwenden sollte?

23.06.2011, 22:56

tigerbine

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Naja, die Funktion muss sich in der von dir gewählten Umgebung eben nicht wie erwartet verhalten.

So, sieht doch harmlos aus. Nun zoomen wir mal rein.

Und schwups, wo kommt denn dieser Hubbel her. smile

smile

Das hätte man aus oberem Bild nicht erwartet und daran scheitert die Methode "einfach Zahlen einzusetzen.

Du musst es schon ausrechnen. Siehe Link zur Potenzmethode.

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