Injektion

25.06.2004, 15:10	Sommer 1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektion Hallo alle zusammen, ich brauche Eure Hilfe!! Kann mir jemand ganz vereinfacht erklären was injektiv und was surjektiv ist und wie ich das erkennen bzw. errechnen kann. Ich sag schon einmal vielen Dank im voraus.
25.06.2004, 15:25	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
also du hast eine funktion die von einer einer menge in eine andere menge abbildet. also f: A -> B Eine funktion ist genau dann injektiv wenn für alle x die in relation stehen gilt, das nur auf ein bild abgebildet wird. Was ich mein ist die identische funktion ist injektiv f(x) = x Die quadratfunktion ist nicht injektiv weil folgendes gilt (-2)² = (2)² also f(-2) = f(2) also wenn du für einen funktionswert 2 verschiedene Argumente bringen kannst ist die funktion nicht injektiv Formal heißt injektiv: $\begin{align} \forall (x,y) \in A: f(x) = f(y) \Rightarrow x = y \end{align}$ Surjektiv heißt das auf alle elemente der Bildmenge abgebildet wird. Die identische funktion ist auch surjektiv f(x) = x und du hast ja alle x $\begin{align} \frac{1}{x} \end{align}$ ist nicht surjektiv weil nicht auf die 0 abgebildet wird. formal heißt surjektiv $\begin{align} \forall y \in B : \exists x \in A : f(x) = y \end{align}$ Am besten mals du dir mal 2 Mengen auf und packst ein Paar elemente rein. Wenn jedes element auf der rechten seite eine Kante hat, dann ist die abbildung surjektiv. Wenn jedes Element auf der linken seite genau eine kante nach B hat ist die Funktion injektiv.
25.06.2004, 15:26	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dann gaaaanz einfach: Nimm dir ein Blatt Papier, zeichne das Koordinatensystem drauf und deine Funktion rein, von der du testen willst, ob sie injektiv oder surjektiv ist. Nimm die ein Lineal und lege es parallel zur x-Achse auf das Koordinatensystem und bewege es in Richtung der y-Achse (also hoch und runter). Wenn dein Lineal sich in jeder "Hoehe" nur in einem Punkt (oder keinen Punkt) mit dem Funktionsgraphen schneidet, dann ist diese Funktion injektiv. Wenn dein Lineal in jeder Hoehe einen Schnittpunkt mit dem Funktionsgraphen hat (es koennen auch mehrere sein), dann ist deine Funktion surjektiv. Mathematisch ausgedrueckt heisst das: Eine Funktion f : D -> W heisst injektiv, wenn fuer alle x_1 ungleich x_2 folgt f(x_1) ist ungleich f(x_2). Eine Funktion von f : D -> W heisst surjektiv, wenn es fuer jedes y aus W ein Urbild x aus D gibt, so dass f(x) = y. Ein Beispiel: F: R -> R, x -> x^2 Sie ist nicht injektiv, denn x = 1 und x = -1haben denselben Funktionswert 1, sind aber verschieden. Sie ist auch nicht surjektiv, denn -1 hat keine Wurzel in den reellen Zahlen, d.h. es existiert kein Urbild x mit x^2 = -1.
25.06.2004, 17:45	Sommer 1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Super!!! Vielen Dank für die schnelle Antwort! Ihr habt mir wirklich weiter geholfen :]
25.06.2004, 18:39	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich möcht jetz nochmal nachfragen: Heißt injektiv das gleiche wie eineindeutig, also, dass es eine Umkehrfunktion auf ganz R gibt?? Heißt dann surjektiv, dass der Wertebereich = R ist??
25.06.2004, 18:49	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Surjektiv heißt nicht das der Wertbereich R ist. Eine funktion f(x) = x die auf N -> N arbeitet ist auch surjektiv aber ihr wertebereich ist N. Surjektiv heißt lediglich das sämtliche Werte im Bildbereich in relation stehen. b) injektiv ist nicht zwangsläufig eindeutig sondern nur das ein Bild genau ein urbild hat. Es kann ja auch sein das du eine relation hast wo 2 auf 3 abbildet und 2 auf 4. Wenn die Ausgangsmenge {2} ist und die bild menge {3,4} dann ist die Relation injektiv aber sicher nicht eindeutig, da du der 2 die 3 oder die 4 zuordnest. Da du mit relationen sicher noch nicht viel am hut hast, kannst du aber für Funktionen festhalten das injektiv eindeutig heißt. Da du wohl auch erstmal nur funktionen R -> R hast kannst du auch festhalten das surjektiv = R bedeutet (im WB)
Anzeige

25.06.2004, 19:04	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Übungsgruppenleiter hat uns mal folgendes erzählt: Eine gute Maschine ist injektiv: man tut lauter verschiedene Sachen rein, und es kommen lauter verschiedene Sachen raus. Surjektiv ist eine gute Kriegsmaschine - alles wird getroffen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »