Nullstellen und Differenzierbarkeit |
| 21.06.2011, 11:43 | Calcoolon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Nullstellen und Differenzierbarkeit Hallo zusammen! Ich bin neu hier und hoffe ich stelle mich nicht allzu ungeschickt an, bei meinen Fragen. Sei k 2, eine natürliche Zahl. f:R->R eine k-mal differenzierbare Abbildung mit genau k Nullstellen. zu zeigen ist: besitzt auch eine Nullstelle(die k-1 Ableitung von f). Wie gehe ich hier vor? Hat jemand einen Ansatz? Danke im vorraus. Meine Ideen: mein ansatz: Angenommen k = 2 f'(x0) = 0; f''(x0) 0 x0 Wäre also eine Extrema und f nach f'' nicht weiter differenzierbar. |
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| 21.06.2011, 11:46 | Calcoolon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir ist klar, dass mein Ansatz bisher sehr naiv ist. Aber wenn mir jemand eine Richtung zeigen könnte, würde ich versuchen mich weiter einzuarbeiten. |
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| 21.06.2011, 12:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also bei deiner "Idee" weiß ich nicht so recht, was du damit sagen willst. Wie dem auch sei. Im wesentlichen geht es hier um die Anwendung von http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rolle . |
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| 21.06.2011, 12:39 | Calcoolon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, das war schon hilfreich. Aber: Satz von Rolle: "Er sagt aus, dass eine Funktion f, die im abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig und im offenen Intervall (a,b) differenzierbar ist und außerdem f(a) = f(b) erfüllt..." Kann ich diese Bedingungen bei meinem Problem als gegeben sehen? Vor allem das f(a)=f(b) existiert, verstehe ich nicht ganz. |
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| 21.06.2011, 12:50 | Calcoolon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, dass f(a)=f(b) habe ich verstanden. |
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| 21.06.2011, 12:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. In diesem Fall ist f(a)=f(b)=0 . Alles weitere geht dann mit vollständiger Induktion. |
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| 21.06.2011, 13:04 | Calcoolon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, danke für die bisherige hilfe. Das f(a)=f(b) verstehe ich. Aber wieso ist f(a)=f(b)=0 in diesem Fall? |
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| 21.06.2011, 13:43 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Nullstellen und Differenzierbarkeit Weil:
Offensichtlich gibt es k solcher Stellen. |
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| 21.06.2011, 14:47 | Calcoolon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also dann beginne ich mal mit dem zeigen. Angenommen es gibt ein a und b für das gilt f(a)=f(b), dann existiert auch ein c mit a<c<b für das gilt f(a)<f(c) und f(b)<f(c) oder f(a)>f(c) und f(b)>f(c). c nimmt irgendwann zw. a und b ein Maximum bzw. Minimum an, weil a und b im Intervall [a,b] selber keine Extrema sind. Ist c ein Maximum, bzw. Minimum, so ist f'(c) eine Nullstelle. Ist das soweit richtig, wenn ja habe ich es bis jetzt verstanden. Gibt es ausser c keine Nullstelle mehr in f', so hat f'' schon keine nullstellen mehr? Aber wie ist der zusammenhang zw. keine weiteren nullstellen in f'' und der nicht weiter differenzierbarkeit? |
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| 21.06.2011, 14:51 | Calcoolon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zusatz f(a)=f(b)=0, da f k nullstellen besitzt. |
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| 21.06.2011, 15:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Beweisführung ist zwar nett, aber mit dem Satz von Rolle kann man sich das alles sparen. Am besten fängst du mal mit dem Induktionsanfang (also k=2) an. |
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| 21.06.2011, 15:17 | Calcoolon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
IA: k=2 f hat genau 2 nullstellen Es gibt laut Aufgabenstellung ein a und b mit f(a)=f(b)=0. Also 2 Nullstellen und somit (lt.Satz von Rolle) ein c welches Min/Max ist. Somit ist f'(c) = 0 Da es nur eine Nullstelle in f' gibt, gibt es kein Intervall von oder bis c, so dass e ein Min/Max dazwischen wäre und f''(e) = 0 gelten würde. IV: gilt für alle k der nat. Zahlen Aber irgendwie ist meine IA nicht sehr mathematisch um nun einen Induktionsschritt durchzuführen. Oder reicht meine Annahme so? |
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| 21.06.2011, 15:27 | Calcoolon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zusatz Jetzt ist mir bewusst geworden, dass bei jeder Ableitung eine Nullstelle weniger vorhanden ist, als zur abgeleiteten Funktion. Aber wieso ist f nicht weiter differenzierbar, wenn keine nullstellen mehr vorhanden sind? |
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| 21.06.2011, 15:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ob bei c ein Minumum oder Maximum ist, ist völlig unerheblich. Laut Satz von Rolle ist eben f'(c)=0 . Punkt. Also hat f' eine Nullstelle und der Induktionsanfang ist erledigt. Wiederum Punkt. Was mit f'' ist, ist völlig unerheblich. So. Jetzt geht es an den Induktionsschritt. |
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| 21.06.2011, 15:41 | Calcoolon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
IS: k+1 Die Funktion f hat k+1 Nullstellen und ist k+1 mal differenzierbar. f ->k nullstellen f'->k-1 nullstellen -> 1 Nullstelle Ich vermute mal, dass ich damit überhaupt nichts bewiesen habe. |
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| 21.06.2011, 15:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man muß das doch alles nur ordentlich aufschreiben. Das ist eigentlich nur Schreibarbeit und hat mit Mathe fast nichts zu tun: Also: Sei f eine Funktion, die k+1 Nullstellen hat und k+1 mal differenzierbar ist. Aus dem Satz von Rolle folgt, daß dann f' k Nullstellen hat. (Ggf. muß man das separat beweisen, liegt aber auf der Hand.) Jetzt die Induktionsvoraussetzung anwenden: f' ist k-mal differenzierbar, also hat die (k-1)-te Ableitung von f' eine Nullstelle. Die (k-1)-te Ableitung von f' ist aber . Fertig. |
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| 21.06.2011, 16:08 | Calcoolon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Werde die Aufgabe nochmal überarbeiten und noch mit den Beweisen des Satzes von Rolle versehen. Aber eine Frage noch: Dass der Satz von Rolle ein Spezialfall vom Mittelwertsatz ist, weiss ich. Aber wäre die Argumentation mit dem Mittelwertsatz eine komplett andere? Danke für die Hilfe |
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| 22.06.2011, 08:32 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welchen Mittelwertsatz meinst du? (Da gibt es verschiedene.) |
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| 22.06.2011, 12:30 | Calcoolon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den Mittelwertsatz der Differentialgleichung |
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| 22.06.2011, 13:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da die Anwendung dieses Mittelwertsatzes in diesem Fall dem Satz von Rolle entspricht, ist das gehopst wie gesprungen. |
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