Potential berechnen

21.06.2011, 11:53

easyone

Potential berechnen

Hi
ich versuche das Potential eines Vektorfeldes zu berechnen, komme aber auch nach mehreren Versuchen nicht auf das richtige Ergebnis.

Das Vektorfeld:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{2x}{1+y^{2} } \\ \frac{2y-2x^{2}y }{(1+y^{2}) ^{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich

$\begin{eqnarray*} Phi(x,y)=\int_{}^{} \! \frac{2x}{1+y^{2} } \, dx +h(y) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} }{y^{2}+1 } +h(y) \end{eqnarray*}$

Das habe ich nach y abgeleitet und mti dem y Wert aus dem Vektorfeld gleichgesetzt.

$\begin{eqnarray*} \frac{-2yx^{2} }{(y^{2}+1) ^{2} }+h(y)^{,} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2y-2x^{2}y }{(1+y^{2}) ^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(y)=\int_{}^{} \! \frac{2y}{(1+y^{2}) ^{2} } \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(y)=-\frac{1}{y^{2}+1 }+c \end{eqnarray*}$

Damit komme nach Einsetzen von h(y) auf:

$\begin{eqnarray*} h(y)=-\frac{x^{2}-1 }{y^{2}+1 }+c \end{eqnarray*}$

das richtige Ergebnis wäre aber

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+y^{2} }{y^{2}+1 }+c \end{eqnarray*}$

Ich überlege jetzt schon seit längerem was ich falsch mache, ich finde aber keine Lösung. Ist die Vorgehensweise nichti richtig?

21.06.2011, 12:56

Leopold

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RE: Potential berechnen

Zitat:

Original von easyone
$\begin{eqnarray*} h(y)=-\frac{1}{y^{2}+1 }+c \end{eqnarray*}$

Damit komme nach Einsetzen von h(y) auf:

$\begin{eqnarray*} h(y)=-\frac{x^{2}-1 }{y^{2}+1 }+c \end{eqnarray*}$

Wie kommst du von der oberen auf die untere Zeile? verwirrt

Oder soll das unten $\begin{eqnarray*} \Phi(x,y) \end{eqnarray*}$ sein? Dann verstehe ich nicht, wo das Minuszeichen herkommt.

Im übrigen unterscheiden sich $\begin{eqnarray*} \frac{x^2 - 1}{1 + y^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{x^2 + y^2}{1 + y^2} \end{eqnarray*}$ nur um eine Konstante (bilde die Differenz und vereinfache). Beide Terme bestimmen also korrekte Lösungen.

21.06.2011, 16:29

easyone

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die untere Zeile ist das $\begin{eqnarray*} phi(x,y) \end{eqnarray*}$

das Minus ist nur ein Flüchtigkeitsfehler beim eintippen gewesen. Es soll positiv sein.

Ich seh nicht ganz wie ich von $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}-1 }{y^{2}+1 } \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+y^{2} }{y^{2}+1 } \end{eqnarray*}$ kommen kann

21.06.2011, 16:30

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
(bilde die Differenz und vereinfache)

21.06.2011, 18:23

easyone

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ok aber es würde mir ja in der Klausur nichts bringen weil ich das Ergebnis dann ja nicht kenne.

In der Aufgabenstellung heisst es das

$\begin{eqnarray*} phi(0,0)=0 \end{eqnarray*}$

Dann müsste ich $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ wählen.

Ist denn an meinem Ergebnis was falsch, weil ich ja ohne eine Umformung ( die ich trotz deines Hinweises nicht hinbekomme) auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ statt auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ komme?

21.06.2011, 18:28

Leopold

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Noch einmal:

$\begin{eqnarray*} \Phi_0(x,y) = \frac{x^2 - 1}{1+y^2} \end{eqnarray*}$

ist eine korrekte Potentialfunktion. Wenn du jetzt noch einen speziellen Wert für $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ haben willst, dann korrigiere das durch einen entsprechenden Summanden, so daß sich

$\begin{eqnarray*} \Phi_1(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$

ergibt. Da $\begin{eqnarray*} \Phi_0(0,0) = -1 \end{eqnarray*}$ ist, was muß da wohl der gesuchte Summand sein?

21.06.2011, 19:57

easyone

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Ahh ok jetzt hab ich es endlich verstanden. Dann addiere ich $\begin{eqnarray*} \frac{1+y^{2} }{1+y^{2} } \end{eqnarray*}$ und komme so auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank fürs Helfen smile

28.09.2011, 13:39

senza

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Hallo alle zusammen,

auch wenn dieser Thread schon beendet und das Problem geklärt zu sein scheint, habe ich doch noch mal eine Frage:

Ich verstehe die Schritte um das Potential zu berechnen:

1. erste Komponente des Gradienten nach x integrieren, um das Potential bis auf eine von y abhängige Konstante zu bestimmen.
2. das nach y ableiten und die zweite Komponente des Gradienten ausnutzen, um die von y anhängige Konstante und somit das Potential eindeutig (bis auf eine Konstante) zu bestimmen.

Nun zu meiner Frage. Wie ihr alle erhalte ich
$\begin{eqnarray*} h(y) = \int_{y_0}^{y} \frac{2y-2x^2y}{(1+y^2)^2} + \frac{2yx^2}{(1+y^2)^2} dy + c \end{eqnarray*}$

Daraus erhalte ich dann wie ihr für das Potential
$\begin{eqnarray*} \Phi(x,y) = \frac{x^2}{1+y^2} + h(y) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun aber, anstatt den Integranden in h(y) zu einem Bruch zusammenzufassen, zwei Integrale hinschreibe, erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \Phi(x,y) = \frac{x^2}{1+y^2} + \int_{y_0}^{y} \frac{2y-2x^2y}{(1+y^2)^2}dy + \int_{y_0}^y \frac{2yx^2}{(1-y^2)^2} dy + c \end{eqnarray*}$

Und das kommt doch wieder auf
$\begin{eqnarray*} \Phi(x,y) = \frac{x^2}{1+y^2} + \int_{y_0}^y \frac{2y-2x^2y}{(1+y^2)2}dy - \frac{x^2}{1+y^2} + c \end{eqnarray*}$
raus und dementsprechend auf
$\begin{eqnarray*} \Phi(x,y) = \int_{y_0}^y \frac{2y-2x^2y}{(1+y^2)^2} + c \end{eqnarray*}$ ,
was im Grunde einfach die integrierte zweite Komponente des Vektorfelds ist.

(Anmerkung: habe immer y0 = 0 und phi(x,y0)=0 angenommen.)

Ich bin ein bisschen verwirrt, kann mir jemand Klarheit darüber verschaffen, was hier los ist?

Viele Liebe Gruesse
senza

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