Extrempunkte bestimmen

21.06.2011, 17:35

Mary_lou_

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Extrempunkte bestimmen

Meine Frage:
Also eigentlich hatte ich mit diesen Aufgaben nie sonderlich große Probleme, aber seit das mit Sinus/Cosinus dazu gekommen ist.. Ich stehe jedenfalls gerade total aufm Schlau.. Also die Aufgabe ist
"Bestimme die Extrempunkre von f(x)=-sin(x) im Bereich [0;2pi)".
Könnte mir jemand die Aufgabe vorrechnen, dass ich zumindest ein Beispiel habe an dem ich weiter üben kann. Wäre echt super! Danke schonmal!

Meine Ideen:

21.06.2011, 18:10

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Vorgerechnet wird nicht, bitte lies dazu auch unser Prinzip.

Wir können aber gerne gemeinsam rechnen.

Wie hast du denn gelernt, Extremstellen zu berechnen?

21.06.2011, 18:25

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Ops das hatte ich garnicht gesehen, bin zum ersten Mal hier..
Also es ist schon lange her als ich das gelernt habe, deshalb kann ich mich auch nichtmehr erinnern.. also soweit ich weiß hat man als erstes die Ableitung Nullgesetzt und von der Nullstelle war ja dann die Steigung 0. Danach haben wir von Punkten daneben die Ableitung berechnet um zu sehen ob die Werte positiv oder negativ sind.. aber ich begreife irgendwie nicht wie das bei einer Sinusfunktion funktionieren soll..

21.06.2011, 21:25

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Ableiten ist doch schon mal eine gute Idee.

Wie schaut denn die Ableitung von sin(x) aus?

22.06.2011, 11:32

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
f'(x)=cos(x)

22.06.2011, 11:42

klarsoweit

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RE: Extrempunkte bestimmen
Wenn die Funktion f(x)=-sin(x) sein sollte, dann hast du ein Vorzeichen verschlampert.

Vorzeichen hin oder her, jetzt brauchst du die Nullstellen von cos(x) im betrachteten Intervall.

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22.06.2011, 13:23

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Ich glaube, Mary_lou hat auf meine Frage geantwortet, wie die Ableitung von sin(x) ausschaut, und da ist (sin(x))'=cos(x) richtig.

Meine nächste Frage wäre also, wie dann die Ableitung von -sin(x) ausschaut, und da hat klarsoweit schon etwas zu gesagt.

22.06.2011, 16:31

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Ja also die Ableitung von -sin(x) ist dann -cos(x)...
wie berechnet man die Nullstellen bei sowas? Normal müsste ich ja -cos(x) nullsetzten, da kommz ja dann eigentlich cos raus..

22.06.2011, 16:35

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Nimm dir einmal den Einheitskreis und überlege dir, wann cos(x)=0 ist.

22.06.2011, 16:43

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Bei (3 pi) / 2 ?

22.06.2011, 16:46

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Unter anderem. $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \pi \end{eqnarray*}$ ist eine Nullstelle im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2 \pi) \end{eqnarray*}$ . Es gibt noch eine.

22.06.2011, 16:52

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
pi/2
(Ich weiß leider nicht wie man das pi-Zeichen macht..)

22.06.2011, 16:55

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Genau, die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=-\cos(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2 \pi) \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=\frac{3 \pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das sind unsere möglichen Kandidaten für Extrema der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=-\sin(x) \end{eqnarray*}$ .

Wie geht es nun weiter? Hast du eine Idee?

22.06.2011, 17:00

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Ich glaube nun muss man Testwerte von nebenliegenden Punkten nehmen, also bei pi/2 zum beispiel pi/4 und pi?Und diese in die Funktion einsetzen, also in f(x)=-sin(x).

22.06.2011, 17:03

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Man kann eine beliebig kleine Umgebung um die Stellen herum untersuchen. Habt ihr in der Schule schon die zweite Ableitung kennen gelernt und wie man mit ihrer Hilfe untersuchen kann, ob es sich bei den kritischen Stellen tatsächlich um Extremstellen handelt?

22.06.2011, 17:07

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Nein, das haben wir noch nicht gelernt.

22.06.2011, 17:11

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Okay, dann also die Umgebung untersuchen. Betrachte einmal $\begin{eqnarray*} -sin \left(\frac{\pi}{2}+h \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -sin \left(\frac{\pi}{2}-h \right) \end{eqnarray*}$ und schaue, ob das kleiner oder größer ist als $\begin{eqnarray*} -sin\left(\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

22.06.2011, 17:19

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Muss ich für h denn keine Zahl einsetzetn?

22.06.2011, 17:22

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Wir müssen das doch für beliebig kleine h betrachten um eine Aussage machen zu können...

Aber eigentlich ist das kein Problem, es ist $\begin{eqnarray*} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin \left(\frac{\pi}{2}+h\right)<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin \left(\frac{\pi}{2}-h\right)<1 \end{eqnarray*}$ Wie man sich leicht am Einheitskreis klar machne kann.

Nun noch das Vorzeichen ändern.

22.06.2011, 17:31

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Wie genau verwendet man denn den Einheitskreis? Ich hab den zwar vor mir liegen, aber irgendwie versteh ich den garnicht, das hat uns nie jemand richtig erklärt..

22.06.2011, 17:37

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Ich habe hier schon des öfteren diese Skizze benutzt:

[attach]20241[/attach]

Der Radius des Kreises ist 1, die rote Strecke ist der Sinus des Winkels den die schwarze Linie mit der x-Achse einschließt, das blaue ist der Kosinus.

Bei einem Winkel von 90° (also pi/2) ist der Sinus 1 und der Kosinus wird 0. rechts und links davon ist der Sinus immer kleiner als 1.

22.06.2011, 17:46

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
1. Woher weiß ich, dass 90°, pi/2 entspricht?
2. Wieso wird der cosinus 0? bei einem Winkel von 90° wäre der cosinus doch 0,irgendwas?

22.06.2011, 17:47

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen

Zitat:

Original von Mary_lou_
1. Woher weiß ich, dass 90°, pi/2 entspricht?

Weil ein Kreis den Umfang 2pi hat.

Zitat:

Original von Mary_lou_
2. Wieso wird der cosinus 0? bei einem Winkel von 90° wäre der cosinus doch 0,irgendwas?

Wie kommst du denn darauf?

22.06.2011, 17:56

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Wegen der Skizze unglücklich

unglücklich

Ich glaube ich habe das missverstanden, also es ist nicht der 90° Winkel gemeint zwischen Sinus und Kosinus, sondern WENN der 90° Winkel zum Mittelpunkt geht? Aber ich verstehe trotzdem nicht was damit gemeint ist das Kosinus 0 wird.

22.06.2011, 18:00

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Es ist der Winkel gemeint zwischen der schwarzen Linie und desr x-Achse, der Drehsinn ist entgegen des Uhrzeigersinns.

Nun drehe einmal weiter, bis die schwarze Linie auf der y-Achse verläuft, der Sinus hat dort den Wert 1, der Kosinus verschwindet.

22.06.2011, 18:08

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Ich verstehe nicht, dass der Kosinus dann weg ist, aber ich nehme das jetzt einfach mal so hin, vielleicht versteh ich das später..

Also -sin(pi/2 +h) ist kleiner als 1 und -sin(pi/2-h) ist auch kleiner als 1..

22.06.2011, 19:11

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Du solltest dich wirklich damit beschäftigen, wie der Sinus und Kosinus im Einheitskreis ausschaut.

Und dann hast du doch selbst die Nullstellen des Kosinus richtig bestimmt:

Zitat:

Original von Mary_lou_
pi/2
(Ich weiß leider nicht wie man das pi-Zeichen macht..)

Zitat:

Original von Mary_lou_
Bei (3 pi) / 2 ?

Also weißt du doch, dass bei einem Winkel von 90° der Kosinus verschwindet.

Zitat:

Original von Mary_lou_
Also -sin(pi/2 +h) ist kleiner als 1 und -sin(pi/2-h) ist auch kleiner als 1..

Eine negative Zahl ist immer kleiner als 1.

Ich habe doch schon geschrieben:

Zitat:

Original von lgrizu
es ist $\begin{eqnarray*} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin \left(\frac{\pi}{2}+h\right)<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin \left(\frac{\pi}{2}-h\right)<1 \end{eqnarray*}$ Wie man sich leicht am Einheitskreis klar machne kann.

Nun noch das Vorzeichen ändern.

Nun noch mit (-1) multiplizieren.

22.06.2011, 19:21

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Ich beschäftige mich damit schon seid ein paar Stunden und verstehe es trotzdem nicht wirklich unglücklich

unglücklich

Und diese Nullstellen wusste ich nur, weil ich die auswendig wusste..
Wie kommt man den jetzt auf die (-1)? Tut mir Leid aber ich bin jetzt total durcheinander...

22.06.2011, 19:33

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Wir wissen nun, dass gilt $\begin{eqnarray*} \sin \left(\frac{\pi}{2}+h \right) <1 \end{eqnarray*}$ .

Um von $\begin{eqnarray*} \sin \left(\frac{\pi}{2}+h \right) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} -\sin \left(\frac{\pi}{2}+h \right) \end{eqnarray*}$ zu kommen multiplizieren wir mit (-1) (klar, oder?)

Und somit erhalten wir die Ungleichung $\begin{eqnarray*} -\sin \left(\frac{\pi}{2}+h \right) >-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sin \left(\frac{\pi}{2}-h \right) >-1 \end{eqnarray*}$ .

Es ist ebenso $\begin{eqnarray*} -\sin \left(\frac{\pi}{2} \right) =-1 \end{eqnarray*}$ .

Worum handelt es sich also bei der Stelle $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , um ein Maximum oder ein Minimum?

22.06.2011, 19:54

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Um von $\begin{eqnarray*} \sin \left(\frac{\pi}{2}+h \right) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} -\sin \left(\frac{\pi}{2}+h \right) \end{eqnarray*}$ zu kommen multiplizieren wir mit (-1) (klar, oder?)

Ja.

Worum handelt es sich also bei der Stelle $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , um ein Maximum oder ein Minimum?[/quote]

Was ist denn ein Maximum oder Minimum?Das haben wir jetzt wirklich noch nicht behandelt. Oder ist damit ein Hoch-/ bzw Tiefpunkt gemeint?

22.06.2011, 19:56

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Das wäre das gleiche, Maximum ist ein Hochpunkt, Minimum ein Tiefpunkt.

22.06.2011, 20:37

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Dann ist es ein Hochpunkt,also ein Maximum.

22.06.2011, 20:41

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Wie kommst du darauf? die umliegenden Funktionswerte sind größer als der Funktionswert der Extremstelle, also handelt es sich um ein Minimum:

Was ist mit dem zweiten möglichen Kandidaten?

24.06.2011, 16:30

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
ist es dann auch (3pi) /2 =3?

24.06.2011, 17:06

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen

Zitat:

Original von Mary_lou_
ist es dann auch (3pi) /2 =3?

verwirrt

24.06.2011, 17:13

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
$\begin{eqnarray*} \sin \left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1 \end{eqnarray*}$ ??

24.06.2011, 18:05

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Jap, also $\begin{eqnarray*} -\sin\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=1 \end{eqnarray*}$ , und wieder die Umgebung untersuchen....

24.06.2011, 18:48

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Ok also..
$\begin{eqnarray*} - \sin(\frac{3\pi }{2} ) =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \sin(\frac{3\pi }{2} ) + h <1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \sin(\frac{3\pi }{2} ) - h <1 \end{eqnarray*}$
Also ist es ein Hochpunkt (Maximum).

24.06.2011, 20:38

lgrizu

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RE: Extrempunkte bestimmen
Falsche Klammersetzung:

$\begin{eqnarray*} - \sin(\frac{3\pi }{2} + h) <1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \sin(\frac{3\pi }{2} - h) <1 \end{eqnarray*}$

Man betrachtet die Stellen um den möglichen Extremwert, also die Stellen x+h und x-h für beliebig kleine h und schaut, wie sich die Funktionswerte dort verhalten.

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} - \sin(\frac{3\pi }{2}) + h=1+h>1 \end{eqnarray*}$ für positive h.

Aber die Folgerung ist richtig, es handelt sich um ein Maximum.

24.06.2011, 21:07

Mary_lou_

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RE: Extrempunkte bestimmen
Ja, hatte mich verschrieben, in meinem Heft hatte ich es richtig aufgeschrieben. Vielen dank für die Hilfe, hab sowie die Aufgabe als auch den Einheitskreis jetzt verstanden! smile

smile

Wink

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