Subs. x=asint

21.06.2011, 17:46

MikeMoeller

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Subs. x=asint

Hi, ich hoffe ihr könnt mir hier auch mal beistehen ,

$\begin{eqnarray*} \int_.^. \! \sqrt{a^2-x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

man soll x = a sin t substituieren

ich schreibe also nach dem substituieren

$\begin{eqnarray*} \int_.^. \! \frac{1-sint}{cost} \, dt \end{eqnarray*}$

ist das richtig ? Ich habe im letzten Ausdruck ebend schon vereinfacht.

21.06.2011, 17:51

Equester

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RE: Subs. x=asint
Was ist denn dein dx? Ich kann deiner Umformung nicht so ganz folgen...Lass mal
die Vereinfachung vorerst weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2011, 17:54

MikeMoeller

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achso also x= asint das würde dann heißen

dx/dt=scost

21.06.2011, 18:26

Equester

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Du meinst acost=dx/dt. Das passt.

Kannst du $\begin{eqnarray*} \sqrt{a²-a²sin(t)²}acos(t)dt \end{eqnarray*}$ anders schreiben? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2011, 18:30

MikeMoeller

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mom ich habe einig eelementare rechengesetzte nicht beachtet

also

ich substituiere wie es mir vorgeschrieben ist mit x=asint

dx = dt * a cos t

dh

$\begin{eqnarray*} \int_.^. \! \sqrt{a^2-(a*sint)^2}*(a cos) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} NR: a^2 (1-sint) = a^2cos^2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2\int_.^. \! cos^2t \, dx \end{eqnarray*}$ umgeformt

21.06.2011, 18:31

Equester

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Ein Schreibfehler in der letzten Zeile. -> dt müsste da stehen.
Sonst aber stimmt alles! Freude

Freude

(Und in der vorletzten Zeile sin(t)² Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

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21.06.2011, 18:33

MikeMoeller

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okay aber jetzt kommt es dickee ! :-)

soll ich jetzt u=cost substituieren ?

21.06.2011, 18:34

Equester

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Hmm, ich würde mal nach Additionstheoremen Ausschau halten. cos²(t) lässt sich als Summe umschreiben.

21.06.2011, 18:36

MikeMoeller

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okay kann ich das einfach jetzt rein schreiebn hinters integral oder muss ich wieder subtituierne ?

21.06.2011, 18:38

Equester

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Das du das Additionstheorem verwendet hast (welche denn eigentlich?) kannst du
vllt unter das Gleichheitszeichen vermerken. Mehr würd ich da nicht machen.

Wenn du dann (wie ich) cos(2t) hast, kannst du dieses, wenn du das nicht direkt
integrieren kannst, nochmals substituieren. Sonst ist man aber so gut wie fertig Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2011, 18:42

MikeMoeller

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ich habe das ddi (!/21+cos2t) genommen,

also muss ich jetzt nicht wieder alles umschreiben ?

ich müsste ja sonst sagen

cos^2t = 1/2(1+cos2t)

ich wüsste jetzt nichtmal wie ic die ableitung schrieebn sollte

Dt nach ds = -2sint ??? keine ahnugn mit buchstbaen is es einfacher

21.06.2011, 18:45

Equester

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Also deine erste Zeile kann ich nicht lesen??

Das ist das richtige Additionstheorem. Jetzt kannst du ja dein Integral separieren.
Bei dem einem Integral hast du ja dann (davor) a²/2. Drin steht cos(2t)dt.
Da würd ich einfach 2t=s setzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2011, 18:47

Mulder

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Kurzer Einwand: MikeMoeller hält das Verwenden dieses Additionstheorem für eine Integralsubstitution. Daher der Quatsch mit dt/ds.

Ich halte mich sonst raus hier, du kannst ihn ja nun wieder auf die richtige Fährte schubsen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Übrigens lässt sich cos² auch partiell integrieren. Der jetzt eingeschlagene Weg kann natürlich weiter verfolgt werden (zumal er auch etwas einfacher ist), aber die Alternativmöglichkeit sollte man ruhig im Hinterkopf behalten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2011, 18:51

MikeMoeller

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das habe ich gemacht und es steht letztendlich

-1/2 sin 2 t dort

@ ja ich habe iene substitution gedacht...warum ist das falsch? Bitte gleich aufklären verwirrt

verwirrt

21.06.2011, 18:56

Equester

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Danke Mulder Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Mike: Wenn du statt 4 schreibst 2², dann ist das doch auch keine Substitution.
Das gleiche ist für cos²(t) der Fall. Du schreibst es nur um! Dabei ist die Aussagekraft
die gleiche!

-> -1/2 sin 2 t das ist die Integration von cos(2t)? Die wäre dann falsch :P Wo haste
das Minus her? cos(x) ist integriert sin(x) Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2011, 19:02

MikeMoeller

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okay, also dann steht d a

(a^2)/2 [ t + 1/2 sin 2t ]

eingesetzt von der allerersten substitution hieße das

(a^2)/2 [ arcsin x/a+ 1/2 sin ( 2 * arcsin x/a)]

21.06.2011, 19:09

Equester

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Yap, so stimmts Freude

Freude

Eine sinnvolle und einfache Vereinfachung sehe ich allerdings grad nicht. Ich würd sagen fertig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder siehst du noch was (oder Mulder)?

21.06.2011, 19:11

MikeMoeller

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also ich seh eleider die lösung zu der augabe und erstmal müssten wir die erste substitution nach t umstellen und einsetzten ...naja und

das würd eheißen

(a^2)/2 [ arcsin x/a + 1/2 sin ( 2 arcsin x/a)]

allerdins stünde im zweiten abschnitt nach dem + halt nen wurzelausdruck ... verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{2} (arcsin \frac{x}{a}+ \frac{x}{a^2}\sqrt{a^2-x^2} ) +C \end{eqnarray*}$

ergebniss^^^^

21.06.2011, 19:30

Equester

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Ergebnis

Augenzwinkern

Sry ich sehs grad auch nicht. Ich schau später nochmals drüber. Unser Ergebnis ist aber auch richtig! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beide Aussagen sind äquivalent.

21.06.2011, 19:32

MikeMoeller

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uii, ist ja seltsam, ist das andere vlt wirklich mit der partiellen integration,

21.06.2011, 19:44

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Gemäß sin(2x)=2sin(x)cos(x) ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sin \left ( 2 \arcsin \left (\frac{x}{a} \right) \right ) = \sin \left ( \arcsin \left ( \frac{x}{a} \right ) \right ) \cos \left ( \arcsin \left ( \frac{x}{a} \right ) \right ) = \frac{x}{a}\cos \left ( \arcsin \left ( \frac{x}{a} \right ) \right ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{x}{a} \sqrt{1- \left ( \sin \left ( \arcsin \left ( \frac{x}{a} \right ) \right ) \right )^2 } = \frac{x}{a} \sqrt{1- \left ( \frac{x}{a} \right )^2 } = \, ... \end{eqnarray*}$

Der Rest ist dann klar, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2011, 19:53

MikeMoeller

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Big Laugh

super das muss man erstmal sehen also war es nur noch nen bissle was hingetrickst vom aufgabensteller,

danke euch beiden !!

achso, bei dem ansatz mit patieller integration bin ich jetzt schon soweit das ich eine patialbruchzerlegung durch führen muss ...mit polynom division und alles was dazu gehört...den weg könnt emna auch weiter verfolgen ja ?

21.06.2011, 20:08

Mulder

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Zitat:

Original von MikeMoeller
also war es nur noch nen bissle was hingetrickst vom aufgabensteller,

Ich denke eher, dass der Aufgabensteller einfach einen anderen Weg eingeschlagen hat, der dann auch direkt auf diese andere Lösung geführt hat. Denn so wahnsinnig vereinfacht hat man es ja nun eigentlich auch nicht. Das wäre meines Erachtens die Mühe nicht wert.

Zitat:

Original von MikeMoeller
achso, bei dem ansatz mit patieller integration bin ich jetzt schon soweit das ich eine patialbruchzerlegung durch führen muss ...mit polynom division und alles was dazu gehört...den weg könnt emna auch weiter verfolgen ja ?

Polynomdivision? Partiabruchzerlegung? geschockt

geschockt

Wir sind doch immer noch bei

$\begin{eqnarray*} \int \cos^2(t) \, \dd t \end{eqnarray*}$

oder? Einfach partiell integrieren, trigonometrischen Pythagoras benutzen, und nach dem gesuchten Integral auflösen. Fertig. Das ist ein Einzeiler.

21.06.2011, 20:23

MikeMoeller

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also ich würde partiell integrieren

u wäre cos^2x und v´ wäre 1

dann mach ich folgendes da bekomme ich sowas raus

integral sincos x dx

und es gibt sone substitutions methode

da ist sinx = 2t/1+t^2 usw da bekommt man (für cos gilt das auch und für dxx muss man auch was einsetzten...dann bekommt man schließlich eine unecht gebr rat funktion die man erst zerlegen muss... *grins

also als ich das ebend geschrieben habe ist mir eingefallen das ich schon nen fehelr reingebaut habe...aber ich habe leide rnciht unednlich viel zeit...daher lasse ich es

21.06.2011, 20:25

Mulder

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Nein! Setze u=cos(x) und v'=cos(x).

Was du meint, ist die Generalsubstitution. Das ist hier völlig überflüssig.

Edit: Dass du jetzt das Handtuch wirfst (so kurz vor dem Ziel ist das bedauerlich), hatte ich überlesen. Vielleicht verfolgst du diesen Weg ja später nochmal, wenn du wieder mehr Zeit hast. Fände ich nicht gänzlich unwichtig.

21.06.2011, 21:42

MikeMoeller

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smile

ich guck es mir nochmal an...in 3 wochen ist allerdings prüfungen und ich brauche noch die bestimmten integrale und dann gehts mit DGL weiter...gewöhnlich und n grades Hammer

Hammer

ich frage mich wie man in so kurzer zeit routine bekommne soll,

ich hänge ja schon wieder,

diesmal nen bestimmtes integral

$\begin{eqnarray*} 1000\int_0^5 \! 1-t^2e^{-t} \, dt \end{eqnarray*}$

ich würde das integral auseinander ziehen und dann stellt sich die frage wie ich t^2e^-t integriere...

ich würde partial integrieren und wenn ich dann für u und v mal etwas herum spiele mit den werten kommen nur komlizierte sachen heraus...

21.06.2011, 21:59

Mulder

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Aufgrund mangelnder Klammersetzung weiß ich nicht, welches Integral nun genau gemeint ist. Aber in jedem Fall muss man hier nicht nur einmal, sondern gleich zweimal partiell integrieren. So kommt man dann aber schnell zum Ziel.

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