Diskriminante/Grad einer Körpererweiterung

21.06.2011, 18:23	data8890	Auf diesen Beitrag antworten »
Diskriminante/Grad einer Körpererweiterung Hallo, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe von mir: Sei $\begin{eqnarray} f=x^3+ax+b\in \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ irreduzibel mit Nullstellen $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ im algebraischen Abschluss von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ .Sei der L der Zerfällungskörper von f. Zeigen Sie: a) $\begin{eqnarray} disc(f)^2=-4a^3-27b^2 \end{eqnarray}$ disc=Diskriminante b) $\begin{eqnarray} [L:K]\in \left\{3,6\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Aut(L/K) \in \left\{Sym(3),Alt(3)\right\} \end{eqnarray}$ Also zur a): ich habe versucht das ganze herzuleiten mit $\begin{eqnarray} x_1=u+v, x_2=eu+e^2v, x_3=e^2u+ev \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} e=e^{2\pi i/3} \end{eqnarray}$ als Nullstellen. Die kriege ich ja aus dem Verfahren von Cardano. das habe ich in die Formel der Diskriminante eingesetzt also $\begin{eqnarray} (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3) \end{eqnarray}$ aber wenn man das auflöst kommt da ein ewig langer Term raus (habs auch im Internet nachrechnen lassen. Wie kann man da noch rangehen? zur b): das erste ist ja irgendwie klar, aber wie zeigt man das und beim zweiten: ist $\begin{eqnarray} Alt(3) \end{eqnarray}$ nicht eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} Sym(3) \end{eqnarray}$ ? Vielen Dank schonmal für eure Hilfe
21.06.2011, 22:45	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a): Es sollte $\begin{eqnarray} disc(f)=-4a^3-27b^2 \end{eqnarray}$ sein, also ohne das Quadrat. Kennst du den Begriff der Resultante von 2 Polynomen? Damit kann man die Formel für die Diskriminante recht schnell bekommen. Eine andere Möglichkeit ist mittels der quadratischen Resolvente, also dem Polynom, dessen Nullstellen die Ausdrücke unter den 3. Wurzeln sind, die in der Lösungsformel von Cardano vorkommen. Es ist nämlich die Diskriminante des kubischen Polynoms das $\begin{eqnarray} \frac{-1}{27} \end{eqnarray}$ -fache der Diskriminante der Resolvente. Aber wie man das beweisen würde, hängt davon ab wie die dir bekannte Herleitung der Lösungsformel ist. Wenn du die Herleitung nicht kennst oder nicht benutzen willst, ist dieser Weg relativ mühsam. Zu b) : $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ ist eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ , ja. Man kann die Galoisgruppe eines separablen Polynoms vom Grad n immer als Untergruppe der symmetrischen Gruppe in den n Nullstellen auffassen. Lasse dazu die Galoisgruppe auf der Menge der Nullstellen operieren und stelle fest, dass die Operation treu ist. Das definiert einen injektiven Homomorphismus der Galoisgruppe in diese symmetrische Gruppe. Wenn du nun auch weißt, dass die Ordnung der Galoisgruppe gleich dem Grad der Körpererweiterung ist, solltest du die Aufgabe lösen können.
22.06.2011, 20:08	data8890	Auf diesen Beitrag antworten »
also zur a) ich habe mir jetzt mal durchgelesen, was die Resultante ist... da steht, dass sie 2 Polynome auf gem. Nullstellen überprüft. Was hat das mit der Diskriminante zu tun??bzw. was ist mein 2. Polynom??
22.06.2011, 22:25	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Für ein normiertes Polynom f und seine Ableitung f' gilt: $\begin{eqnarray} res(f,f')=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot disc(f) \end{eqnarray}$ Die Resultante von 2 Polynomen kann man als Determinante einer Matrix berechnen, in der die Koeffizienten der Polynome stehen. In diesem Fall (Polynom vom Grad 3 mit seiner Ableitung) wäre es eine 5x5-Matrix. Um obigen Zusammenhang zwischen Determinante und Resultante zu sehen, kann man die Darstellung der Resultante als $\begin{eqnarray} res(f,g)=a_0^mb_0^n\prod_{i,j}(x_i-y_j) \end{eqnarray}$ benutzen, wobei n der Grad von f, m der Grad von g, $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ der Leitkoeffizient von f, $\begin{eqnarray} b_0 \end{eqnarray}$ der von g, $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ die Nullstellen von f und $\begin{eqnarray} y_j \end{eqnarray}$ die Nullstellen von g sind (mit Vielfachheit gezählt). Es ist nämlich wegen $\begin{eqnarray} g(x)=b_0\prod_{j}(x-y_j) \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} res(f,g)=a_0^m\prod_i g(x_i) \end{eqnarray}$ Ist f normiert und g=f', dann also $\begin{eqnarray} res(f,f')=\prod_i f'(x_i) \end{eqnarray}$ .. das kann man dann mit Produktregel für das Ableiten aus $\begin{eqnarray} f(x)=\prod_{i}(x-x_i) \end{eqnarray}$ ausrechnen und erhält die Diskriminante bis auf ein Vorzeichen wie oben genannt.

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