Differentialgleichung - Nur auf den ersten Blick einfach

21.06.2011, 18:15

epidrom

Differentialgleichung - Nur auf den ersten Blick einfach

Hi!

Wie der Titel des erstellten Threads schon sagt, habe ich es mit einer Differentialgleichung zu tun die nur auf den ersten Blick für mich einfach aussah:

$\begin{eqnarray*} x\cdot y' + y= x\cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

Als aller erstes habe ich jetzt nach y' umgestellt und komme auf Folgendes:

$\begin{eqnarray*} y'= \frac{x\cdot sin(x)}{x} - y \end{eqnarray*}$

Nun, ab hier folgt die Verwirrung. Ich habe wirklich mehrere Wege versucht aber komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis.

Aber lasst es mich euch einfach mal zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{x\cdot sin(x)}{x} -y \end{eqnarray*}$

Hier auch gleich nochmal eine Frage:
Ich kann doch jetzt das "x" aus der Gleichung kürzen oder ?
Dann habe ich somit:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{y}dy= sin(x) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int -\frac{1}{y} dy = -ln(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int sin(x) dx = -cos(x)+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ln(y)=-cos(x)+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -y=e^{-cos(x)}+e^{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)=-e^{-cos(x)}+C \end{eqnarray*}$

Laut Lösung muss aber gelten:

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{C+sin(x)}{x}-cos(x) \end{eqnarray*}$

21.06.2011, 18:53

Mulder

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RE: Differentialgleichung - Nur auf den ersten Blick einfach

Zitat:

Original von epidrom
Aber lasst es mich euch einfach mal zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{x\cdot sin(x)}{x} -y \end{eqnarray*}$

Aber es müsste doch $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{x\cdot sin(x)}{x} -\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ heißen.

Und das hilft nicht viel. Hier sind die Variablen nicht separierbar. Wie wäre es mit Variation der Konstanten?

Du erfindest hier irgendwie eigene Rechenregeln.

21.06.2011, 20:35

epidrom

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Tut mir leid aber was meinst du mit Variation der Konstanten ?

21.06.2011, 20:47

Mulder

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Nachgucken?

21.06.2011, 20:50

epidrom

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das war echt nicht schlecht!

den link hab ich mir gespeichert.

Danke. Werde mal schauen was sich googlen lässt smile

21.06.2011, 21:09

HAL 9000

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Alternative: Wenn man das laut Produktdifferentiation gültige

$\begin{eqnarray*} (xy)' = y + xy' \end{eqnarray*}$

"sieht", dann geht's noch viel schneller. smile

21.06.2011, 21:11

Mulder

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Ich könnt mich selbst beißen, dass ich das übersehen hab. Schön, HAL! smile

21.06.2011, 21:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mulder
Ich könnt mich selbst beißen

Würde ich an deiner Stelle nicht tun, denn so richtig anfängertauglich ist mein Alternativtipp nicht: Das mit dem "sieht" habe ich ja nicht umsonst in Anführungszeichen gesetzt, d.h., das kann man nicht unbedingt verlangen. Insofern war der Hinweis auf Variation der Konstanten schon die sicherere Methode.

27.06.2011, 14:18

epidrom

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Alles klar die alte hab ich verstanden und war nach dem ich das Prinzip der Variation der Konstanten verstanden hatte auch kein großes Problem mehr. Und um die Vorherige Aufgabe auch zu Ende zu bringen:

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{sin(x)+C}{x} - cos(x) \end{eqnarray*}$

Nun bin ich gerade am Durchrechnen von Altklausuren und bin aber auf folgendes gestoßen:

$\begin{eqnarray*} y' - \frac{2xy}{2+x^{2}} = 2+x^{2} \end{eqnarray*}$

Das habe ich erst einmal in eine homogene Gleichung umgewandelt da sich die Variablen nicht wirklich voneinander trennen lassen:

$\begin{eqnarray*} y' - \frac{2xy}{2+x^{2}} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y}dy = \frac{2x}{2+x^{2}} dx \end{eqnarray*}$

Anschließend auf beiden Seiten das Integral gebildet:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{y} dy = ln(y) \end{eqnarray*}$

Zweites Integral plus Substitution:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x}{2+x^{2}} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x}{u} \cdot \frac{du}{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{u} du = ln(u) +C =ln(2+x^{2}) + C \end{eqnarray*}$

Anschließend beide Integrale gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} ln(y) = ln(2+x^{2}) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{ln(y)}=e^{ln(2+x^{2})} \cdot e^{C} \end{eqnarray*}$

Da C ein konstanter Faktor bildet sich folgendes:

$\begin{eqnarray*} y = (2+x^{2}) * k(x) \end{eqnarray*}$

Nun die erste Ableitung gebildet:

$\begin{eqnarray*} y'= (2+x^{2}) \cdot k'(x) + \frac{2x}{2+x^{2}} \cdot k(x) \end{eqnarray*}$

y und y' in Grundgleichung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} (2+x^{2}) \cdot k'(x) + \frac{2x}{2+x^{2}} \cdot k(x) - \frac{2x \cdot (2+x^{2}) \cdot k(x)}{2+x^{2}}= 2+x^{2} \end{eqnarray*}$

Aber hier ist mein Problem ich komme einfach nicht auf den Weg wie ich nach k'(x) auflösen könnte... Bei mir kommt da imme rnur Quark raus. Hab ich das denn überhaupt richtig gemacht ?

Bin wirklich für jeden Hinweis, Tipp dankbar : )

27.06.2011, 14:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von epidrom
$\begin{eqnarray*} y = (2+x^{2}) * k(x) \end{eqnarray*}$

Nun die erste Ableitung gebildet:

$\begin{eqnarray*} y'= (2+x^{2}) \cdot k'(x) + \frac{2x}{2+x^{2}} \cdot k(x) \end{eqnarray*}$

Da ist er, der Fehler: Die richtige Ableitung lautet

$\begin{eqnarray*} y'= (2+x^{2}) \cdot k'(x) + 2x \cdot k(x) \end{eqnarray*}$

27.06.2011, 16:40

epidrom

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Danke.

Mit der korrekten Ableitung konnte ich auch endlich $\begin{eqnarray*} k'(x) \end{eqnarray*}$ ermitteln:

$\begin{eqnarray*} (2+x^{2}) \cdot k'(x) +2x \cdot k(x) - \frac{2x \cdot (2+x^{2})\cdot k(x)}{(2+x^{2})}=2+x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2+x^{2})\cdot k'(x) = 2+x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k'(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt noch auf beiden Seiten integrieren:

$\begin{eqnarray*} k(x) = \int 1 dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k(x) = x + C \end{eqnarray*}$

Nun in die integrierte homogene Gleichung $\begin{eqnarray*} y = (2+x^{2}) \cdot k(x) \end{eqnarray*}$ einsetzen :

$\begin{eqnarray*} y=(2+x^{2}) \cdot (x+ c) \end{eqnarray*}$

Stimmit oder ?

Danke im Voraus und für Vorheriges smile

27.06.2011, 16:43

gonnabphd

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Alternative: Man stelle um

$\begin{eqnarray*} y' - \frac{2xy}{2+x^2} = 2 + x^2 \quad \iff \quad \frac{y'}{2+x^2} - \frac{2xy}{{(2+x^2)}^2} = 1 \end{eqnarray*}$

Hieraus schliesst man mit folgender offenischtlichen Trivialität ( Herz

)

$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{2+x^2} - \frac{2xy}{{(2+x^2)}^2} = \frac{d}{dx}\left( \frac{y}{2+x^2}\right) \end{eqnarray*}$

dass mit der Substitution $\begin{eqnarray*} z = \frac{y}{2+x^2} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} z = x+C \end{eqnarray*}$ , bzw. wieder nach y aufgelöst

$\begin{eqnarray*} y = (x+C)(2+x^2) \end{eqnarray*}$

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