Erwartungswert (Summe)

21.06.2011, 22:27

Matheproblemchen

Erwartungswert (Summe)

Meine Frage:
Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen.

Man zeige für den Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E(X+Y)=E(X)+E(Y) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Meine Idee ist, das durch die Diskretisierungen $\begin{eqnarray*} X_{(n)} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Y_{(n)} \end{eqnarray*}$ und die Dreiecksungleichung zu zeigen.

[Wir haben das nämlich auf diese Weise für das Produkt zweier stetiger Zufallsvariablen gezeigt, also $\begin{eqnarray*} E(XY)=E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ .]

Also ich habe mir Folgendes überlegt.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} |(X+Y)_{(n)}-(X+Y)|\leq\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} |(X+Y_{(n)})-(X+Y)|=|Y_{(n)}-Y|\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} |(X+Y_{(n)})-(X_{(n)}+Y_{(n)})|=|X-X_{(n)}|\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ich würde sagen, dass dann gilt:

$\begin{eqnarray*} |(X+Y)_{(n)}-(X_{(n)}+Y_{(n)})|\leq \frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |E((X+Y)_{(n)})-E((X_{(n)}+Y_{(n)}))|\leq 3\cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ strebt die rechte Ungleichungsseite doch gegen Null und es folgt die Behauptung.

Ist das so korrekt gemacht?

21.06.2011, 22:34

Gast11022013

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RE: Erwartungswert (Summe)

Zitat:

Original von Matheproblemchen
Meine Frage:
Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen.

Man zeige für den Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E(X+Y)=E(X)+E(Y) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Meine Idee ist, das durch die Diskretisierungen $\begin{eqnarray*} X_{(n)} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Y_{(n)} \end{eqnarray*}$ und die Dreiecksungleichung zu zeigen.

[Wir haben das nämlich auf diese Weise für das Produkt zweier stetiger Zufallsvariablen gezeigt, also $\begin{eqnarray*} E(XY)=E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ .]

Also ich habe mir Folgendes überlegt.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} |(X+Y)_{(n)}-(X+Y)|\leq\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} |(X+Y_{(n)})-(X+Y)|=|Y_{(n)}-Y|\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} |(X+Y_{(n)})-(X_{(n)}+Y_{(n)})|=|X-X_{(n)}|\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ich würde sagen, dass dann gilt:

$\begin{eqnarray*} |(X+Y)_{(n)}-(X_{(n)}+Y_{(n)})|\leq \frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |E((X+Y)_{(n)})-E((X_{(n)}+Y_{(n)}))|\leq 3\cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ich würde sagen, an dieser Stelle muss stehen:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |E((X+Y)_{(n)})-(E(X_{(n)})+E(Y_{(n)})|\leq \frac{3}{n} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ strebt die rechte Ungleichungsseite doch gegen Null und es folgt die Behauptung.

Zitat:

Ist das so korrekt gemacht?

Ansonsten (finde ich), sieht es gut aus.

Was sagen die wirkliche Experten dazu?

21.06.2011, 22:40

dinzeoo

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ich hab mir deine rechnung nicht angeschaut, aber eine alternative ist es über die definition des erwartungswertes zu machen.

$\begin{eqnarray*} E(X+Y)=\int X+YdP \end{eqnarray*}$

aufgrund der linearität des integrals folgt deine gleichung...

21.06.2011, 22:44

Matheproblemchen

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Dreiecksungleichung bitte
Ja, bestimmt.

Aber wir sollen diesen Weg mit der Dreiecksungl. machen.

21.06.2011, 23:18

Matheproblemchen

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Bitte ansehen :-)
Brauch das morgen früh, bitte helft mir no9ch ,.D

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