gleichungssystem lösen

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21.06.2011, 22:34	thomas91	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichungssystem lösen Meine Frage: Ich habe hier folgendes Gleichungsystem: $\begin{eqnarray} <br /> x_{1} -0.5x_{2} + 2x_{3} +x_{4} = 2<br /> x_{2} - 1x_{3} +2x_{4} = 3<br /> + ax_{3} = 2<br /> + x_{3} +(b-1)x_{4} = 2<br /> \end{eqnarray}$ und die Angabe lautet: Für welche Werte $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ ist folgendes Gleichungssystem nicht lösbar? Meine Ideen: wenn ich das jetzt in eine Matrix übertrage bekomme ich: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & -0.5 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 &2 & 3 \\ 0 & 0 &ax_{3} & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & (b-1)x_{4} & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Überlegung ist, dass $\begin{eqnarray} ax_{3} \end{eqnarray}$ 0 sein muss weil dan wäre 0 = 1 also falsche Aussage und dan nehmen wir an dass in der 4. Zeile $\begin{eqnarray} x_{3} \end{eqnarray}$ zu 0 wird und für b müssen wir alles bis auf 1 einsetzen damit das Gleichungsystem unlösbar wird also $\begin{eqnarray} a\in \mathbb R \left\{ 2\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b\in \mathbb R ohne \left\{ 1\right\} \end{eqnarray}$ Kann das stimmen? lg, Alex
21.06.2011, 22:42	thomas91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichungssystem lösen ah tut mir leid leute, ich hab da ein paar fehler eingebaut..ich änders schnell damits richtig ist
21.06.2011, 22:42	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi thomas91, nein, das stimmt leider nicht, auch wenns nicht ganz falsch ist. (dass das LGS für a=0 unlösbar ist, stimmt natürlich) Bevor du verlässliche Aussagen treffen kannst, brauchst du die Matrix in Zeilenstufenform (was ja schon FAST der Fall ist). x_3 und x_4 haben übrigens in der Matrix nichts mehr zu suchen. Also mach mal Zeilenstufenform! VVG Dustin
21.06.2011, 22:48	thomas91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichungssystem lösen $\begin{eqnarray} x_{1} - 0.5x_{2} + 2x_{3} - x_{4} = 2<br /> 1x_{2} -1x_{3} +2 x_{4} = 3<br /> + ax_{3} = 1<br /> x_{3} + (b-1)x_{4} = 0<br /> \end{eqnarray}$ und es sollte heißen $\begin{eqnarray} a\in \mathbb R \left\{0\right\} \end{eqnarray}$
21.06.2011, 22:49	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Erste Antwort siehe oben
21.06.2011, 22:57	thomas91	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh ich muss sagen, ich hab keine Ahnung wie ich das jetzt auf Zeilenstufenform bringe, weil das war eigentlich das Problem warum ich nicht weitergekommen bin..ich weiß nicht wie ich jetzt weitermache
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21.06.2011, 22:59	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Na komm, irgendwas wirst du doch zum Thema Zeilenstufenform vorzuweisen haben. Wie macht man das denn für gewöhnlich?
21.06.2011, 23:03	thomas91	Auf diesen Beitrag antworten »
naja normalerweise würde ich da versuchen die Zahl in der 4. Zeile mit der 3. wegzubekommen aber wenn ich jetz 4 Zeile - 3. Zeile nehme dan kommt mir ja $\begin{eqnarray} 0 0 (1-a) (b-1) 0 \end{eqnarray}$
21.06.2011, 23:12	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Das LaTex stresst dich, oder? EDIT: Habs kapiert, das sollte die 4. Zeile sein Also, die Matrix von dem LGS, das du da hast, ist doch die hier: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -0,5 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & a & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & b-1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn du jetzt die 4. Gleichung erstmal mit a multiplizierst und danach von der 3. Zeile abziehst, geht's.
21.06.2011, 23:23	thomas91	Auf diesen Beitrag antworten »
also kommt jetzt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & ab-a & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn wir mit a multiplizieren, das dürfen wir ja nur wenn a nicht null ist, aber woher wissen wir das wissen wir gleich anhand der 3. Zeile dass a = 1 ?
21.06.2011, 23:26	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
AH gut, da hast du natürlich recht! Den Fall a=0 müssen wir also gesondert betrachten. Das hast du ja auch bereits völlig richtig getan. Und nein, wir wissen NICHT, was a ist, a ist eine beliebige reelle Zahl, so wies in der Angabe steht. Also, wenn a nicht gleich 0 ist, wie sieht dann jetzt die Zeilenstufenform aus?
21.06.2011, 23:46	thomas91	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -0.5 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & a & 0& 1 \\ 0 & 0 & 0 & ab-a & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn das jetzt der fall ist wo a \neq 0 wie schauen wir uns den fall gesondert an wo a= 0
21.06.2011, 23:59	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, im Fall a=0 wird ja schon in der anfänglichen (nicht umgeformten) Matrix ein Widerspruch auftreten (3.Zeile, wie du ja auch schon sagtest). Also ist für a=0 das Gleichungssystem nicht lösbar! So, und im Fall a ungleich 0 haben wir jetzt die Zeilenstufenform. Jetzt sieht man an der untersten Gleichung 0 0 0 a(b-1) -1 Wenn b=1, ist diese Zeile unlösbar. Das Gleichungssystem ist also dann unlösbar, wenn a=0 oder b=1 ist. Hau mich jetzt bitte nicht, ich weiß, dass du das von Anfang an gesagt hast... aber trotzdem muss man normalerweise immer erst die MAtrix auf Zeilenstufenform bringen! Nimms mir nicht übel, dass ich deine Lösung erst für falsch hielt
22.06.2011, 00:01	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: So wie das LGS am Anfang dastand, wäre deine Lösung doch falsch gewesen bzw. unvollständig, weil dann die Zeilenstufenform anders ausgesehen hätte. Also darfst du mich doch nicht hauen
22.06.2011, 00:19	thomas91	Auf diesen Beitrag antworten »
haha hätt dich so oder so nicht gehauen ^^ aber danke aufjedenfall für die ganze hilfe
22.06.2011, 00:23	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nochmal zusammengefasst: Bei solchen Aufgaben IMMER zuerst die Matrix auf Zeilenstufenform bringen! Wenn dann auf der Matrixdiagonale irgendwo eine Null steht, dann ist das LGS entweder unlösbar oder hat unendlich viele Lösungen. Wenn nirgendwo auf der Diagonale Nuller stehen, hat das LGS genau eine Lösung. Das gilt natürlich nur für quadratische Matrizen!

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