Abschätzung von |sin(x)| <= |x|

22.06.2011, 00:48	serverone	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung von \|sin(x)\| <= \|x\| Hallo, in einer Übungsaufgabe durften wir folgende Abschätzung verwenden: $\begin{eqnarray} \|sin(x)\| \leq \|x\| \end{eqnarray}$ . Meine Frage ist, wie man auf diese kommt. Ich habe versucht, es über die Definition zu zeigen und komme zu einem Ergebnis, das nicht falsch ist, aber auch nichts bringt: $\begin{eqnarray} \|sin(x)\| \overset{Def.}{=} \frac{\|e^{ix}-e^{-ix}\|}{\|2i\|} \overset{\triangle-Ungl.}{\leq} \frac{\|e^{ix}\|+\|-e^{-ix}\|}{2} = \frac{\|\cos(x) + i \cdot \sin(x)\|+\|\cos(-x) + i \cdot \sin(-x)\|}{2} = \frac{1+1}{2} \end{eqnarray}$ Wie kann man aber das x behalten und die Abschätzung erhalten?
22.06.2011, 02:05	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwertsatz, siehe: http://www.matheboard.de/archive/444411/thread.html
22.06.2011, 08:46	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Basierend auf der geometrischen Definition im Einheitskreis ergibt dich zumindest für $\begin{eqnarray} 0\leq x\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ : [attach]20238[/attach] $\begin{eqnarray} \sin(x) = \|BC\| \leq \|AB\| \leq x \end{eqnarray}$ , denn Winkel $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist ja zugleich die Bogenlänge des Bogens $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ . Die restlichen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2} \leq x < 0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \|x\| > \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ) sind dann durch eine leichte Zusatzüberlegungen nun auch kein Problem mehr.
22.06.2011, 19:01	serverone	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Antworten. Könnte man mit dem MWS so argumentieren: sin(x) auf R stetig und differenzierbar, also $\begin{eqnarray} \exists \xi \in (0,x) : \|sin(0) - sin(x)\| = \|(sin(\xi))'\| \cdot \|0-x\| \iff \|sin(x)\| = \|cos(x)\| \cdot \|x\| \overset{\|cos(x)\| \leq 1}{=} \leq \|x\| \end{eqnarray}$ Bei der geometrischen Variante: kurz überlegt gilt sogar $\begin{eqnarray} \|BC\| < \|AC\| \ \forall x\in \mathbb{R} \setminus \{ x: \sin(x) = 0 \} \end{eqnarray}$ , oder? Für $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} < x \leq \pi \end{eqnarray}$ fällt \|sin(x)\| wieder und dann ist es periodisch mit Pi, wobei ja wegen $\begin{eqnarray} \|sin(x)\| \leq 1 \end{eqnarray}$ für alle x > 1 dann die Betrachtung unkritisch ist.

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