Kovergenzverhalten von Reihen

14.12.2006, 19:14	meph	Auf diesen Beitrag antworten »
Kovergenzverhalten von Reihen Hallo. Ich hänge an folgenden Aufgaben. Ich bin keider ziemlich planlos, was diese angeht. Ich schreibe hier erstmal nur zweie rein, ich denke mit dem richtigen Ansatz bekomme ich die übrigen dann auch hin. Die Reihen sollen auf ihr Konvergenzverhalten untersucht werden. 1) $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~{2k \choose k}^{-1} \end{eqnarray}$ DIe Aufgaben stammen übrigens ausm Amann/Escher. Leider liefert diese auch keine Lösungen(Lösungsansätze).
14.12.2006, 19:18	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovergenzverhalten von Reihen Hi! Beim zweiten lautet der Index auch $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ , sonst wäre die Reihe ja sinnlos.. Oder beabsichtigt? Welche Kriterien hast du denn schon kennengelernt, um das Konvergenzverhalten zu bestimmen. Reicht euch die Aussage konvergent oder divergent - oder ist dann noch nach dem Wert gefragt???
14.12.2006, 20:00	meph	Auf diesen Beitrag antworten »
Gute Frage. Ich mein aber, dass es genüg zu zeigen, ob die Reihe konvergiert/divergiert. In dem Aufgabenteil zuvor war konkret nach einem Wert gefragt.
14.12.2006, 20:09	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovergenzverhalten von Reihen Mit Konvergenzverhalten ist auch gemeint, ob die Reihe konvergiert oder nicht, vom genauen Wert ist keine Rede! Des weiteren ist deine obere Reihe gar nicht definiert, also weder konvergent noch divergent. Welche Kriterien kennst Du denn? Du meinst vielleicht aber: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~\frac{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n} \end{eqnarray}$
14.12.2006, 20:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die erste Reihe startet sicher erst bei Index n=1, denn für n=0 ist das Reihenglied gar nicht definiert... Die Reihe ist ja genau dann konvergent, wenn die Folge $\begin{eqnarray} s_k = \sum_{n=1}^k ~ \frac{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n} \end{eqnarray}$ ihrer Partialsummen konvergiert. Dann muss auch jede Teilfolge von $\begin{eqnarray} (s_k) \end{eqnarray}$ konvergieren, z.B. auch $\begin{eqnarray} s_{2m} = \sum_{n=1}^{2m} ~ \frac{(-1)^{n+1}}{3n+n(-1)^n} = \sum_{j=1}^{m} ~ \left( \frac{1}{4j-2} - \frac{1}{8j} \right) \end{eqnarray}$

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