Lösen einer nichtlinearen homogenen DGL mit var. Koeff.

22.06.2011, 10:40

chewie92

Lösen einer nichtlinearen homogenen DGL mit var. Koeff.

Meine Frage:
Hallo, komm bei der DGL nicht weieter.
y`+xy-x^3*y^3=0

Meine Ideen:
Habs schon mit Substitution u=xy probiert komm aber nicht weit.

22.06.2011, 16:48

alex2007

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RE: Lösen einer nichtlinearen homogenen DGL mit var. Koeff.
Die Substitution ist korrekt. Also mit u=xy kommt man ans ziel.

setze für y'=dy/dx ein und berechne mit du/dx was du für dx einsetzen musst. dann trennen der variablen, und integrieren. das einzige problem, was bei der resubstition am ende entsteht, dass man nun y^2, y^4 und y in der gleichung hat. wie man dann auf die endgültige lösung kommt weis ich auch noch nicht, aber bis dahin ist das richtig!

23.06.2011, 08:01

chewie92

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Komm nur bis hier
Mit der Substitution u=yx y=u/x y`=(u´x-u)/x^2
Einsetzen:
(u`x-u)/x^2+u-u^3=0

u`x=(u^3+u)x^2+u

u`=u^3x+ux+u/x

jetzt komm ich eben nicht weiter, trennen der variablen funkt irgendwie nicht.

23.06.2011, 12:40

alex2007

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RE: Komm nur bis hier
$\begin{eqnarray*} y'+ xy -x^3\cdot y^3=0 \Rightarrow \frac {dy}{dx}=(xy)^3 -xy \end{eqnarray*}$ (*)

Substitution:

$\begin{eqnarray*} u=xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {du}{dx}=y \Rightarrow dx= \frac {du}{y} \end{eqnarray*}$

Einsetzen in (*) liefert die DGL:

$\begin{eqnarray*} y\frac {dy}{du}=u^3 -u \end{eqnarray*}$

Hier kannste jetzt mit du multiplizieren und schon sind die variablen getrennt!

23.06.2011, 13:24

Huggy

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RE: Komm nur bis hier

Zitat:

Original von alex2007
$\begin{eqnarray*} u=xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {du}{dx}=y \Rightarrow dx= \frac {du}{y} \end{eqnarray*}$

Falsch!

$\begin{eqnarray*} u'=y+xy' \end{eqnarray*}$ (Produktregel)

Diese naheliegende Substitution nützt hier nichts. Die DGL ist vom Bernoulli-Typ. Dafür gibt es eine Standardsubstitution.

23.06.2011, 13:48

alex2007

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RE: Komm nur bis hier
Stimmt y ist ja von x abhängig, sorry das hatte ich ausgeblendet. smile

24.06.2011, 07:47

chewie92

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RE: Komm nur bis hier
Ich habs eben mit der substitution

u=yx u`=y+y`x probiert, nur schaff ich zum schluss die trennung der variablen nicht,
hat jemand eine Idee?

24.06.2011, 07:51

Huggy

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RE: Komm nur bis hier
Dazu zitiere ich mich selbst:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u'=y+xy' \end{eqnarray*}$ (Produktregel)

Diese naheliegende Substitution nützt hier nichts. Die DGL ist vom Bernoulli-Typ. Dafür gibt es eine Standardsubstitution.

27.06.2011, 07:49

chewie92

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RE: Komm nur bis hier
Aso,
okay danke, dachte das man für die Bernoulli konst. Koeff. braucht

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