inhaltstreu aus erster Fundamentalform ablesen

22.06.2011, 16:50	steffi24	Auf diesen Beitrag antworten »
inhaltstreu aus erster Fundamentalform ablesen Meine Frage: Hi, kann mir vielleicht jemand erklären, was "flächentreu"bedeutet? Also genauer: Eine Parametrisierung bildet jeden Punkt einer Kreisfläche auf eine Halbkugel ab. Meine Ideen: Von dieser Parametrisierung kann ich die erste Fundamentalform bilden, aber wie kann ich inhaltstreue nachweisen? Lieben Dank schonmal!
23.06.2011, 10:51	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche $\begin{eqnarray} \vec x=\vec x(u,u) \end{eqnarray}$ mit den Flächenparametern u,v ist bekanntlich $\begin{eqnarray} \text{Fläche}=\int \int \sqrt{\det(G(u,v))}\,\,dudv \end{eqnarray}$ Dabei ist G(u,v) die 1.Grundform $\begin{eqnarray} G=\begin{pmatrix} \frac{\partial \vec x}{\partial u}\frac{\partial \vec x}{\partial u} & \frac{\partial \vec x}{\partial u}\frac{\partial \vec x}{\partial v} \\ \frac{\partial \vec x}{\partial v}\frac{\partial \vec x}{\partial u} & \frac{\partial \vec x}{\partial v}\frac{\partial \vec x}{\partial v} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es ist klar, dass der Flächeninhalt unabhängig von der Wahl der Flächenparameter u,v sein muss. Geht man also zu neuen Parametern u'=u'(u,v) und v'=v'(u,v) über, muss derselbe Flächeninhalt herauskommen. $\begin{eqnarray} \text{Fläche}=\int \int \sqrt{\det(G'(u',v'))}\,\,du'dv' \end{eqnarray}$ Zum Beweis muss man das obige Intergral von (u,v) auf (u',v') transformieren. Mit Kettenregel und etwas Determiantenrechnung solltest du das schaffen.
23.06.2011, 16:28	steffi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke für den Tipp!

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