Linearität nachweisen (Ringe, Vektorräume, Gruppen)

22.06.2011, 20:10	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearität nachweisen (Ringe, Vektorräume, Gruppen) Meine Frage: Hey Leute, wo liegt den eigentlich der Unterschied wenn ich die Linearität von Ringen, Vektorräumen, Gruppen, nachweiße??? Meine Ideen: Für Vektorräume: v,w aus V Z.Z.: $\begin{eqnarray} f(v+w) = f(v) + f(w) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f( \alpha v) = \alpha f(v) \end{eqnarray}$ Für Ringe: s,t aus R Z.Z.: $\begin{eqnarray} p(s+t) = p(s) + p(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(st) = p(s) p(t) \end{eqnarray}$ hier gibt es ja kein Skalar aus dem Grundkörper oder? für Gruppen: a,b aus G Z.Z.: $\begin{eqnarray} f(ab) = f(a) \cdot f(b) \end{eqnarray}$ links ist es eine andere Verknüpfung als rechts, aber auch hier kein Skalar aus dem Grundköper passt das so, oder muss ich noch mehr zeigen, für die einzelnen Strukturen? Danke...
22.06.2011, 23:44	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität nachweisen (Ringe, Vektorräume, Gruppen) Gruppen, Ringe und Vektorräume sind einfach unterschiedliche Strukturen, auf ihnen sind unterschiedliche Verknüpfungen erklärt. Damit eine Abbildung als strukturerhaltend bezeichnet werden kann, muss sie halt, je nachdem, zwischen welchen Strukturen sie abbildet, auch unterschiedliche Bedingungen erfüllen. Ringe und Gruppen werden natürlich nicht über irgendwelchen Grundkörpern betrachtet. Das ist nur bei Vektorräumen der Fall. Das ist einfach Definitionssache. Ich würde bei einem Ringhomomorphismus noch ergänzen, dass das Einselement wieder auf das Einselement abgebildet werden muss. Zumindest wenn man Ringe mit Einselement betrachtet (was man aber ja für gewöhnlich tut).

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