Vollständige Induktion

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Chemix Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
Meine Frage:
Bin schon seit anfang des Semesters auf Kriegsfuß mit der vollständigen Induktion, aber da die Klausuren langsam spürbar näher rücken, muss ich mich wohl oder übel rasch mit diesem Gebiet anfreunden.

Es geht um folgende Aufgabe aus einer alten Klausur:



(a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass gilt:





Meine Ideen:
Erstmal der Induktionsschritt:

Gegebene Formel mit der Formel aus Aufgabenteil a gleichgesetzt:



Für n 1 eingesetzt -> Es kam auf beiden Seiten -1 raus = IA bewiesen.

Induktionsschritt:



Wie geht's jetzt weiter? Ich könnte den rechten Teil noch ausmultiplizieren, aber dann? Hänge ich wieder in der Sackgasse.. wär toll wenn mir jemand ausführliche Tipps geben könnte.

Danke im voraus =)

MfG
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn du damit auf Kriegsfuß stehst, dass du Unfug geschrieben hast sollte dir doch hoffentlich selbst klar sein. unglücklich

Nach deinen Ausführungen wäre z.B. , was offensichtlich nicht für alle natürlichen Zahlen der Fall ist.

[WS] Vollständige Induktion
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mir mal deine verlinkte Seite durchgelesen und ich kann, zumindest das erste Beispiel - die anderen heb ich mir für die Zukunft auf^^, ganz gut nachvollziehen.

Nur das Übertragen in eine neue Aufgabe.. das verwirrt mich.

Und ja.. jetzt sehe ich selbst, dass das Gleichheitszeichen bei meiner Formel völlig falsch am Platz ist Big Laugh
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du denn jetzt die "Standardschritte" der VI auf deine Aufgabe übertragen und soweit korrigieren?

Abfolge:

Indunktionsanfang
Induktionsvoraussetzung
Induktionsschritt

Wie sieht das jeweils aus?
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Induktionsanfang:





Induktionsvoraussetzung: Es gilt

Induktionsschritt:







Da letzteres dafür eingesetzt:

Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Summe falsch auseinandergezogen. Du erhältst nicht einfach nur den Summanden .

Desweiteren sollte es in der IV heißen: Die Aussage gelte für ein (oder ähnliche Formulierungen), es wird nicht einfach nur voraussgesetzt, dass jetzt ist.
 
 
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Mh, ich glaub jetzt hab ich richtig den Faden verloren.. ich will doch beweisen, dass sich beide Gleichungen für alle Folgeglieder identisch verhalten und deshalb halt n+1 oder habe ich gerade einen denkfehler?
Habe ich mich jetzt zu sehr ans Beispiel geklemmt?^^
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub jetzt weiß ich was du gemeint hast (hoffe ich zumindest):



So richtig?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt kannst du die IV anwenden.
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

-> Diese Formulierung auch in Ordnung?





So weit ok?
Meine Überlegung war jetzt, dass ich den linken Bruch vom rechten subtrahiere.. dazu muss ich aber die wegbekommen, nur wie kann man das am geschicktesten lösen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, diese Formulierung ist nicht in Ordnung. "Für alle natürlichen Zahlen größer/gleich 1", was ist damit? Was passiert damit? Was machen die da?

Denke an die Potenzgesetze und das Distributivgesetz. (Tipp: multipliziere nicht aus).
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich ehrlich bin, sehe ich momentan nur, dass ich auseinanderziehen kann zu , aber ob mir das was bringt?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Denke an die Potenzgesetze und das Distributivgesetz. (Tipp: multipliziere nicht aus).
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hab mir deinen Rat schon durchgelesen.. aber ich komm nicht drauf wo genau ich das anwenden könnte verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wo hast du denn nach der Anwendung der Potenzgesetze gleiche Faktoren stehen die man rausziehen könnte?
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Potenzgesetze? Ich habe jetzt nur 1 angewandt.

Hab momentan das hier vor mir stehen:

Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann eben das Potenzgesetz wenn du es so genau haben willst...

Wo finden wir jetzt gemeinsame Faktoren die man rausziehen könnte? Was hat dich eben am Subtrahieren gehindert?
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Was hat dich eben am Subtrahieren gehindert?


Ehrlich? Ich dachte es wäre falsch Big Laugh
Also:




Hab aber das Gefühl, dass das so auch nicht stimmt, oder irre ich mich da?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du irrst nicht. unglücklich

Wie lautet das Distributivgesetz? Was willst du hier rausziehen? Wie kommst du auf ?
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Naja... hab dich wohl missverstanden.. hast ja gemeint ich solle 2 gleiche Faktoren subtrahieren.. (-1)^n ist 2 mal da und -1 - 1 ist ja -2.. aber so geht das ja nicht.



Hast du's evtl so gemeint? hier jetzt das Distributivgesetz anwenden?

PS.: Danke dir für deine Geduld, hast ne schwere Geburt Big Laugh
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn jetzt auf diese Umformung? geschockt

, du hast in jedem Summanden jeweils enstehen, also kannst du das gemäß ausklammern und erhältst .
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das ganze jetzt mal ausmultipliziert, komme aber nicht aufs richtige Ergebnis:





Ergebnis:




Ergebnis aus Muster-Lösung:

Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: nicht ausmultiplizieren. Ausklammern ist schneller und führt einfacher zum Ergebnis.
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt mal rein theoretisch..
Eigentlich müsste ich ja schauen, dass ich die innerhalb der Klammer nach draußen transportiere. Nach anweden eines Potenzgesetzes hätte ich ja dann wieder meine außerhalb der Klammer und der Ausdruck innerhalb wäre wieder positiv.
Da die -1 jedoch nich in beiden Summanden vorkommt fällt hier schonmal das Ausklammern weg, richtig?

Dann hätte ich, so sehe ich das im moment, nur noch die Möglichkeit meinen Bruch aufzulösen in dem ich ihn nehme und dann ausklammere. Dann würde der Ausdruck innerhalb der Klammer aber trotzdem weiter negativ bleiben, da die -1 noch vorhanden ist.

Nichts desto trotz hab ich letzteren Schritt ausprobiert und mich dabei total verrannt..



Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne doch einfach mal aus. Idee!

Übrigens sehe ich gerade, dass du das Ergebnis eben eigentlich schon hattest; vergleich deine (ausmultiplizierte) Version mal mit der Musterlösung.
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber halt nur fast Augenzwinkern
Mein Ergebnis *(-1) nehmen wär doch nicht erlaubt, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest es ja ausklammern...
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »







Wenns jetzt nicht richtig ist... Big Laugh
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Da du ja (hoffentlich!) wohlwissend überall Gleichheitszeichen gesetzt hast, wäre das die Lösung.
Chemix Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, danke dir =)
loosm Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr beiden, ich verfolge diesen Beitrag seit einiger Zeit mit großem Interesse.
Dürfte ich euch beiden mal meine Versuche dieser Termumformung zeigen ?
Oder wäre das nicht erwünscht ?

Mit freundlichen Grüßen

loosm Wink
loosm Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry ich hatte übersehen das der Beitrag 2 Seiten hatte und deshalb nicht bemerkt das ihr die Aufgabe schon durch hattet. Die Termumformung hatte ich ein wenig anders gemacht aber es ist ja jetzt sowieso egal. smile
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