Konvergenz einer Reihe

23.06.2011, 00:21	Spiderschwein99	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe Hallo, es geht um folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ ist eine beliebige Folge reeller Zahlen und $\begin{eqnarray} x_{n} := \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n a_{k} \end{eqnarray}$ Nun sollen wir für folgende Aussage sagen, ob sie wahr ist: $\begin{eqnarray} (\lim_{n \to \infty } a_{n} = a \in \mathbb R ) \Rightarrow (\lim_{n \to \infty } x_{n} = a \in \mathbb R ) \end{eqnarray}$ Ich habe mir überlegt, angenommen die Folge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen 3, dann würde ja in etwa dastehen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n a_{n} = n 3 \frac{1}{n} = 3 \end{eqnarray}$ Natürlich ist das nicht korrekt, also steinigt mich bitte nicht gleich, aber für sehr große n werden ja die ersten Folgenglieder, die in dem Beispiel weiter weg von 3 sind immer unbedeutender... Von daher denke ich, dass die Aussage wahr ist, ich weiß aber leider nicht, wie ich das auf "Mathematisch" hinschreibe. Ich wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte! MfG
23.06.2011, 02:40	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Fang mit dieser Umordnung an: $\begin{eqnarray} x_{n}-a = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n a_{k} -\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n a= \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n (a_{k}-a) \end{eqnarray}$ Benutze dann die Bedingung $\begin{eqnarray} \|a_{k}-a\|< \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k>n_0 \end{eqnarray}$ und mach aus der Summe zwei Teile.
23.06.2011, 10:48	Spiderschwein99	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, du meinst also dann so: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n_{0}} (a_{k} - a) + \frac{1}{n}\sum\limits_{k=n_{0+1}}^n (a_{k} - a) \end{eqnarray}$ Dann wäre die hintere Summe kleiner Epsilon, da: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=n_{0+1}}^n \|a_{k} - a\| \leq \frac{\epsilon (n - n_{0+1}) }{n} < \epsilon \end{eqnarray}$ Und die vordere Summe wird null, falls man $\begin{eqnarray} {n \to \infty } \end{eqnarray}$ laufen lässt, da $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n_{0}} \|a_{k} - a\| = c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c\in \mathbb R \end{eqnarray}$ Also hat man: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n_{0}} \|a_{k} - a\| + \frac{1}{n}\sum\limits_{k=n_{0+1}}^n \|a_{k} - a\| \leq \lim_{n \to \infty} \frac{c}{n} + \frac{\epsilon (n - n_{0+1}) }{n} < \epsilon \end{eqnarray}$ Stimmt das so, oder hab ich einen fatalen Fehler gemacht? MfG
23.06.2011, 17:57	Spiderschwein99	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat keiner weiter eine Idee? MfG
23.06.2011, 22:43	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man so gelten lassen, denke ich. Du meinst ja: Um zu zeigen $\begin{eqnarray} \|x_n-a\|<\epsilon_2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n>n_2 \end{eqnarray}$ , wähle man $\begin{eqnarray} \epsilon =\frac{1}{2} \epsilon_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_2 \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \|\frac{c}{n}\|<\epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n>n_2 \end{eqnarray}$ .
24.06.2011, 09:13	Spiderschwein99	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, ich danke euch vielmals! MfG
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