Spezielle Orthogonale Gruppe

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Spezielle Orthogonale Gruppe
Meine Frage:
Ich muss zeigen, dass es einen injektiven Gruppenhomomorphismus zwischen der speziellen orthogonalen Gruppe: und

Ich muss auch zeigen, dass es wirklich ein injektiver Homomorphismus ist!

Meine Ideen:
So ich brauch also ein welches linear bezüglich der Gruppen Verknüpfung und injektiv ist.

Als Verknüpfung würde ich die Matrixmultiplikation wählen , da ja die Matrix A in eine nxn Matrix ist und in eine n+1 x n+1 Matrix würde ich das f irgendwie so definieren:

, aber ich weiß nicht so recht ob das Sinn macht???

Kann mir einer einen Tipp geben? Wie ich einen solchen Homom. aufstelle??

Danke
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar musst Du eine Spalte und Zeile einfügen, damit die Dimensionen je um 1 erhöht werden. Wie wählt man die Einträge sinnvollerweise für die Aufgabe?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen, dass die Einträge jedenfalls ungleich Null sein müssen, denn sonst entsteht ja eine Nullspalte und eine Nullzeile, dann wären aber die Zeilenvektoren und die Spaltenvektoren nicht mehr l.u., was bei einer orthogonalen Matrix aber sein muss.

Also ich könnte doch sage, dass gilt:

mit:

und die n+1 te Spalte darf keine 0-Elemente haben, bzw die letze Zeile von X^T darf keine 0-Elemente haben...

Jetz nachweißen, dass es ein injekt. Hommorphismus ist oder???


Achtung: Fehler im ersten Beitrag: der Homomorphismus muss von der orthogonalen Gruppe O in die spezielle orthogonale Gruppe SO mit dimension +1 gehen also:

zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest mal daran denken, wie sich Matrixdimensionen unter Matrizenmultiplikation transformieren. Du wirst durch eine solche Multiplikation nie beide Dimensionen verändern können. Bitte verfolge meine Ansatz weiter. Ja, die angefügten Einträge dürfen nicht alle 0 sein. Bedenke auch, dass die Matrizen orthogonal bleiben müssen.

Versuch doch mal, es zunächst im Fall von Dimension 2 nach 3 herauszubekommen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Abbildung jetzt also so aussieht, dann muss ich noch zusätzlich auf die Determinante achten...



In O gibt es als Determinante ja nur 1 und -1 in SO nur 1...

Das macht es nicht gerade leichter Hammer
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also zur Matrixdimension erstmal:

Wenn ich eine Matrixmultiplikation durchführe dann verhalten sich die Dimensionen wie folgt:

(pxn)*(nxn) = (pxn) und (pxn)*(nxp) = (pxp)

also ich wenn ich jetzt weiter den Ansatz verfolge, dass der Homomorphismus durch eine Multiplikation mit einer Matrix X^T von links und X von rechts ensteht, dann müsste doch die Matrix X die Dimension (nxp) und X^T hat dann Dimension (pxn)...

Ist der Ansatz den überhaupt richtig mit der Matrix X???

Wie bekomme ich das mit der Determinante in den Griff??

Und wie bleibt die Matrix orthogonal??? Orthogonal heisst ja: A*A^T = I , bzw, l.u Spaltenvektoren...

Ich brauch da mal noch ein paar Tipps!!

Danke
 
 
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