Lognormalverteilung Kurtosis

23.06.2011, 12:14	neria	Auf diesen Beitrag antworten »
Lognormalverteilung Kurtosis Hallo, wie ist die Wölbug(Kurtosis) einer Lognormalverteilung definiert? Ich suche nach einer Formel, wie man die Wölbung aus der Standardabweichung und dem Erwartungswert berechnet. Auf der deutschen Wikipedia-Seite habe ich keine fertige Formel gefunden (s. http://de.wikipedia.org/wiki/Lognormalverteilung Allerdings wird eine Formel für die Momente angegeben. Demnach wäre das vierte Moment $\begin{eqnarray} E(x^4) = exp(4 \mu + \frac{4^2 \cdot \sigma^2}{2}) \end{eqnarray}$ Da die Wölbung als der Quotient des vierten zentralen Momentes durch das Quadrat des zweiten zentrale Moment definiert ist, käme ich auf $\begin{eqnarray} E(x^4) = \frac{exp(4 \mu + \frac{4^2 \cdot \sigma^2}{2})}{\sigma^4} \end{eqnarray}$ Ist das richtig? Viele Grüße, neria
23.06.2011, 13:49	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lognormalverteilung Kurtosis Die Momente einer Verteilung, ihre zentralen Momente und ihre standardisierten zentralen Momente sind für alle Verteilungen in gleicher Weise definiert. Man kann die höheren Momente nicht in genereller Weise aus den niedrigeren Momenten berechnen. Man kann aber alle Momente einer Verteilung aus den Parametern einer Verteilung berechnen. Und da scheint bei dir ein Mißverständnis vorzuliegen. Die Lognormalverteilung hat 2 Parameter, die üblicherweise mit $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ bezeichnet werden. Diese beiden Parameter sind aber nicht identisch mit dem Erwartungswert (Mittelwert) und der Standardabweichung der Lognormalverteilung. Die Normalverteilung hat auch 2 Parameter und auch diese werden üblicherweise mit $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ bezeichnet. Und bei der Normalverteilung stimmen sie tatsächlich mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung der Normalverteilung überein. Das führt häufig zu Mißverständnissen. Generell sind Parameter und Momente einer Verteilung sorgfältig zu unterscheiden. Die Kurtosis einer Verteilung ist definiert als $\begin{eqnarray} \beta_2=\frac{E(X-\hat \mu)^4}{(E(X-\hat \mu)^2)^2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \hat \mu = E(X) \end{eqnarray}$ Wie schon gesagt, ist bei der Lognormalverteilung $\begin{eqnarray} \hat \mu \neq \mu \end{eqnarray}$ . Die Kurtosis der Lognarmolverteilung ist: $\begin{eqnarray} \beta_2 =3+(w-1)(w^3+3w^2+6w+6) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} w=e^{\sigma^2} \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ der Parameter der Lognormalverteilung, nicht deren Standardabweichung. Die Formel habe ich nciht nachgerechnet. Da vertraue ich mal dem Buch.
23.06.2011, 15:58	neria	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Erklärung. Ich habe gerade gesehen, dass die Formel für die Momente der Logormalverteilung auf der Wikipediaseite sich auf die "normalen" Momente bezieht. Für die Berechnung der Kurtosis benötige ich aber das vierte und zweite "zentrale" Moment. Aus welchen Buch stammt deine Formel für die Kurtosis?
23.06.2011, 16:44	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die allgemeine Formel für die Kurtosis findest du überall, z. B. in der Wiki. Das spezielle Ergebnis für die Lognormalverteilung habe ich aus einem Buch, das heute wohl nicht mehr leicht zugänglich ist: Hahn/Shapiro Statistical Models in Engineering 1967
23.06.2011, 17:08	neria	Auf diesen Beitrag antworten »
Das spezielle Ergebnis für die Lognormalverteilung habe ich gesucht. Anscheinend gibt es für das von dir genannte Buch eine Neuauflage von 1994. Diese habe ich gleich mal per Fernleihe bestelllt. Vielen Dank! Viele Grüße, neria
23.06.2011, 17:16	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
In meiner alten Auflage findet man das Ergebnis als Fußnote der Tabelle auf Seite 128.
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23.06.2011, 17:27	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab noch eine andere Quelle gefunden: http://mathworld.wolfram.com/LogNormalDistribution.html Die Formeln scheinen zunächst unterschiedlich, stimmen aber doch überein.

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