Problem mit arithmetischen Beweisen

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Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit arithmetischen Beweisen
Guten Tag,
ich wollte fragen ob mir jemand ein paar Übungsaufgaben für arithmetische Aufgaben geben kann die ich dann löse und ihr sie verbessern könnt ? Am besten von leichten zu schwierigen Aufgaben , da ich mich langsam heranasten will. Ich verstehe dieses Thema garnicht und schreibe morgen eine arbeit darüber (ich weiß ich bin ein bisschen zu spät mit dem Hilferuf) Tränen

PS:Gehe in die 8 Klasse eines Gymnasiums
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Arithmetik ist sehr breit gefächert. Was macht ihr denn genau?

VG Dustin
 
 
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... ich weiß jetzt nicht genau was es für eine Art von arithmetischen Beweisen sind , aber es sind Aufgaben wie :
Beweise: Die Summe von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist stets durch 5
teilbar.

oder

Beweise: 6 teilt das Produkt von 3 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen

Hoffe das es einwenig geholfen hat
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

aah ok, also Sachen mit Teilbarkeit.


OK, wie würdest du denn schon mal diese beiden Aufgaben angehen? Hast du Ideen für Ansätze?
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

Beweise: Die Summe von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist stets durch 5
teilbar. :

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)
=

Tut mir leid , aber dieses arithmetische Beweisen bringt mich total durcheinander :S


Beweise: 6 teilt das Produkt von 3 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen

(n-1)*n*(n+1)
=2n-1n+2n+1n
=5n

Also geht der Beweis nicht ?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Beim oberen Beispiel müsstest du eigentlich nur weiterrechnen, anstatt dich zu entschuldigen smile Fasse das mal zusammen.

Und was tust du bitte beim unteren Beispiel? Soll das Ausmultiplizieren sein? ..... Hm ok ich glaub ich versteh was du machst, da sind aber mehrere Fehler drin.

(n-1)*n*(n+1)

Wenn du jetzt erstmal das Linke ausmultiplizierst, hast du

(n²-n)*(n+1)

Das ergibt n²-n, das ist NICHT dasselbe wie 2n-n!
Und wie multipliziert man jetzt weiter aus?

P.S. Wäre cool, wenn du ein wenig schneller als einmal pro Stunde antworten würdest, wenn du morgen schon den test hast smile
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich weiter multiplizieren müsste :

(n²-n)*(n+1)
= n³+1n²-n²-1n
= n³+1-1n
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

wieso +1? verwirrt

und wie rechnest du bei der oberen Gleichung (der Ansatz war doch schon sehr gut!)
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

n²*1 ist doch +1 , oder ?

(n+1)+(n+2)+n+(n+3)+(n+4)
=(n²+3n+2)+n+(n²+7n+12)
=n³+3n²+2n+n³+7n²+12n
=n^9(?)+10n²+14n

und weiter weiß ich leider nicht
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Heieieieiei, da müssen wir jetzt aber noch mal ein paar Rechenregeln üben Augenzwinkern

Wenn zwischen den Klammern + steht, dann gibts nichts auszumultiplizieren! Einfach nur zusammenfassen:

n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) =

n+n+1+n+2+n+3+n+4=

5n + 10

Verstehste? Und was sagt dir das Ergebnis nun?

Nein, n²*1 ergibt nicht +1, sondern eine 1 als Vorfaktor kann man einfach weglassen: n²*1 = n²
Be der unteren Aufgabe ergibt sich also

(n-1)*n*(n+1) = (n²-n)*(n+1)= n³ + 1n² - n² -n = n³ + n² - n² - n = n³ - n

Aber jetzt sag mir bitte erst einmal was zu der oberen Aufgabe! Wieso kann man sagen, dass das Ergebnis, 5n + 10, durch 5 teilbar ist?
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

ich dachte das hat was mit den binomische formeln zu tun deshalb hatte ich die so komisch ausmultipliziert :S

5n + 10 / 5
= n + 2
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern nene, binomische Formeln sind doch mit Quadraten drinne smile

So ist es! Damit wäre die obere Aufgabe sozusagen gelöst smile
Also können wir schonmal eine Faustregel machen: wenn du die Summe mehrerer Zahlen aufstellen sollst, ist es am besten, die Summe einfach auszurechnen, am Ergebnis müsste man dann sehen, durch was die Zahl teilbar ist.

So. Bei unteren Aufgabe kommt also n³ - n raus, und daran sieht man ja leider gar nicht, dass das Ergebnis durch 6 teilbar sein soll. Da würde ich also ganz anders vorgehen. Nochmal zurück zur Aufgabenstellung.
Wir sollen also drei aufeinanderfolgende Zahlen multiplizieren. Das Ergebnis soll durch 6 teilbar sein. Die 6 kann man zerlegen in 6= 2*3. Nun frage ich dich:

1. Warum ist das Ergebnis auf jeden Fall durch 2 teilbar?
2. Warum ist das Ergebnis auf jeden Fall durch 3 teilbar?

Versuch das mal schlüssig zu begründen, ganz ohne Rechnen!
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

1 2 3
2 3 4
3 4 5
. . . .

Weil es bei 3 aufeinanderfolgenden Zahlen immer eine Zahl gibt , die man durch 2 und 3 Teilen kann

Ist das als Begründung ausreichen ? Big Laugh
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

also bitte getrennt voneinander:

1. Es gibt mindestens eine gerade Zahl (also durch 2 teilbar)
2. es gibt eine Zahl, die durch drei teilbar ist.

So wie du es geschrieben hast, klingt es so, als sei beides Mal dieselbe Zahl gemeint, das stimmt nicht.

Wenn also eine der drei zahlen durch 2 teilbar ist und eine durch 3, und ich nehme alle Zahlen miteinander mal, so muss das Ergebnis durch 2 und durch 3 teilbar sein, und damit auch durch 6.

Logo bis dahin? Dann kannst du mir bestimmt folgendes beantworten:

1. Warum ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen ungerade?

2. Warum ist das Produkt von vier aufeinanderfolgenden Zahlen stets durch 24 teilbar?
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

1.Weil eine der 2 aufeinanderfolgenden Zahlen , gerade und ungerade ist und :
ungerade + gerade = ungerade
gerade + ungerade = ungerade

2.Weil es in den 4 aufeinanderfolgenden Zahlen , es immer eine gibt, die durch 3 geteilt werden kann und da 3 ein Teiler von 24 ist , muss das Produkt auch durch 24 teilbar sein
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

1. OK smile

2. ist bei dir wohl 36 auch durch 24 teilbar, nur weil sie durch 3 teilbar ist??? Das reicht nicht!
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

also bitte getrennt voneinander:

1. Es gibt mindestens eine gerade Zahl (also durch 2 teilbar)
2. es gibt eine Zahl, die durch drei teilbar ist.

So wie du es geschrieben hast, klingt es so, als sei beides Mal dieselbe Zahl gemeint, das stimmt nicht.

Wenn also eine der drei zahlen durch 2 teilbar ist und eine durch 3, und ich nehme alle Zahlen miteinander mal, so muss das Ergebnis durch 2 und durch 3 teilbar sein, und damit auch durch 6.

Logo bis dahin? Dann kannst du mir bestimmt folgendes beantworten:

1. Warum ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen ungerade?

2. Warum ist das Produkt von vier aufeinanderfolgenden Zahlen stets durch 24 teilbar?

Weil es in den 4 aufeinanderfolgenden Zahlen immer die Teiler 2 , 3 und 4 gibt und 2*3*4 ergibt 24
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt schon besser. So langsam verstehste das Prinzip offenbar smile Aber mit der Formulierung bin ich noch nicht ganz einverstanden.
Was genau heißt "es gibt die Teiler 2,3,4"?

Wenn du mir das besser formuliert hast, kannste dich an folgendem versuchen:

- Warum ist n²+n für jede natürliche Zahl n gerade?

- Warum nist n²-1 mit n größergleich 2 niemals eine Primzahl?
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

Weil es in den 4 aufeinaderfolgenden Zahlen , Zahlen gibt die man durch 2 , 3 und 4 teilen kann . 2*3*4 = 24
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Du Nase, das ist genau dieselbe schlamberte Formulierung wie vorhin! *stups* Augenzwinkern

Es gibt eine Zahl, die durch 2 teilbar ist, eine, die durch 3 teilbar ist, und eine, die durch 4 teilbar ist. Außerdem ist es wichtig, dass die durch 2 teilbare und die durch 4 teilbare Zahl verschieden sind.Beispiel zum Verständnis:
9*10*11*12
Die 12 ist die durch 4 teilbare Zahl. Die 9 ist durch 3 teilbar (die 12 auch, aber eine Zahl reicht ja). Die 10 ist durch 2 teilbar. Also ist das Produkt durch 2*3*4=24 teilbar.

Das war NUR ein Beispiel, begründen muss man das allgemein!

OK, und die anderen Aufgaben? Du wolltest ja Aufgaben smile
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
- Warum ist n²+n für jede natürliche Zahl n gerade?

- Warum nist n²-1 mit n größergleich 2 niemals eine Primzahl?



Die Fragen verstehe ich irgendwie nicht ? :S
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm weißt du denn, was eine Prinzahl ist?
Also nochmal nummerinert:

1. Warum ist n²+n für jede natürliche Zahl n gerade?
2. Warum ist n²-1 für n größergleich 2 niemals eine Primzahl?

zu 1. Beispiele:
Wenn ich n=4 einsetze, bekomme ich 4²-4=16-12 --> gerade Zahl
Wenn ich n=9 einsetze, bekomme ich 9²-9=72 --> gerade Zahl
Die Frage ist, wieso immer eine gerade Zahl herauskommen muss.

auch zu 1. Klammere mal ein n aus.

zu 2. Wende eine binomische Formel an (diesmal darfste Big Laugh )

VG Dustin smile
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

1. Weil , wenn man eine Zahl Mal nimmt , sie gerade sein muss , da man sich mit der Mal genommenen Zahl wieder Dividieren kann .

So in etwa ?

Die 2 verstehe ich leider immer noch nicht unglücklich Ist die aber nicht ein wenig zu schwer für einen achtklässler ? Big Laugh
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1. Nein. 3*5=15 ist auch keine gerade Zahl. Klammere ein n aus! Big Laugh

zu 2. Ich weiß es nicht, falls ihr über Primzahlen gesprochen habt, ist die Aufgabe sicher nicht zu schwer. Hattet Ihr binomische Formeln?
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2. Ja eigt. wir hatten beides schon .

Tut mir leid aber bei diesen Aufgaben muss ich leider passen traurig
Dustin B. Auf diesen Beitrag antworten »

Na, besser du wirst hier überrascht als in der Schulaufgabe morgen, oder? Augenzwinkern

Also:
bei 1. haben wir n²-n. Da kannst du doch jetzt bestimmt ein n ausklammern smile Da will ich jetzt nicht helfen, das kannst du!
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

(n)²-n :S (?)
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

n²+n = n*(n+1) du Nase.

Und weil n und n+1 zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind, ist eine davon durch zwei teilbar, deswegen ist das Ergebnis auch durch 2 teilbar (also gerade).

Und die 3. Binomische Formel bei 2. geht so:

Allgemein: a²-b² = (a+b)*(a-b)

in diesem Fall: n²-1 = (n+1)*(n-1)

Warum kann das jetzt keine Primzahl sein?
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

(n+1)*(n-1)
=n²-1+1
=n²

Das Ergebnis darf keine Primzahl sein , weil es quadriert wurde.
Dustin B. Auf diesen Beitrag antworten »

Also Canakkaleli, das Ausmultiplizieren musst du wirklich nochmal gründlich üben.

(n+1)*(n-1) = n² -n +n -1 = n² - 1

Allerdings habe ich diesen Schritt ja gerade eben von rechts nach links angewendet, weil wir die Form (n+1)*(n-1) für die Argumentation brauchen. Da steht nämlich das Produkt zweier Zahlen, und da n größergleich 2 ist, sind beide Zahlen ungleich 1. Das Produkt zweier Zahlen ungleich 1 kann keine Primzahl sein!


Hast du denn nicht ein Schulbuch mit Aufgaben drin zum Üben? Oder ein Arbeitsblatt? Mehr Aufgaben fallen mir jetzt nicht mehr ein, aber ich glaube, du brauchst noch Übung darin. Ich weiß ja auch nicht soo genau, was Ihr jetzt gemacht habt und was dann nun morgen drankommen kann.

Wenn du noch eine Aufgabe hast oder auch eine, die ihr in der Schule schon gerechnet habt, dann schau dir die bitte an und wenn was unklar ist, poste es hier, wir helfen dir gerne.

(An andere "Nachhilfelehrer" hier: ich bin gleich mal off, deshalb kann gern jemand übernehmen!)

Viele Grüße, Dustin smile
Canakkalleli Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe Big Laugh

Ich versuche mal die Aufgaben aus der Schule alleine zu lösen , weil die hab ich auch nicht so wrklich verstanden Big Laugh
Dustin B. Auf diesen Beitrag antworten »

JA tu das! Da hast du auf jeden Fall was davon! Und was du nicht verstehst, fragst du zB hier. Je konkreter die Frage, desto schneller und gezielter können wir sie beantworten!!

TOI TOI TOI smile
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