Funktion linear ?

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Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion linear ?
Meine Frage:
Hallo.
Ich habe folgende Aufageb:
Welche der folgenden Funktionen sind linear?
a) f: |R -> |R f(x) = x + 1
b) f: |R -> |R f(x) = 5 * x
c) f: |R² -> |R f(x1, x2) = 5 * x1 + 2
wir haben die Lösungen schon besprochen aber irgendie haben ich das noch nciht so wirklich verstanden. Unser Lehrer kann das nicht wirklich gut erklären. es wäre nett von euch wenn mir einer sich die zeit für mich nehmen würde und es mir genau und am besten mit zwischenschritten erklären könnte. Mit zwischenschritten finde ich lernt man sachen am besten. Und nicht das ihr denkt das ihr nur die aufgaben für mich rechnen sollt werde ich die Lösungen jetzt noch aufschreiben.

Ich wäre euch sehr dankebar

Meine Ideen:
a) f(x) + f(y) = (x+1)(y+1) nicht linear
b) f(x+y) = 5x + 5y linear
c) 5 * (x1 + y1) +2 = 5(x1 + y1) +4 nicht linear
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet denn die Definition für eine lineare Funktion, sprich: welche Bedingungen muss eine Funktion erfüllen, damit sie linear ist?
 
 
Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »

naja wenn in der Funktion das verhältnis glech ist
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Anders gefragt: wie war eure genaue, wörtliche Definition von Linearität?

In der Schule werden oft Funktionen der Form als linear bezeichnet, ist das bei euch auch so?
Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »

naja damals in der schule hatten wir bx + m glaub ich aber jetzt im studium wo wir das wiederholen hatten wir keine soweit ich weiß
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Anders gefragt: wie war eure genaue, wörtliche Definition von Linearität?


Wenn du darauf nicht eingehst, wird das nichts geben. Betrachtest du vllt. eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über einem gemeinsamen Grundkörper und sollst diese auf Linearität prüfen? Sprich: überprüfen ob diese Abbildung homogen und additiv ist?
Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »

eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über einem gemeinsamen Grundkörper trifft es. denn mit homogen und additiv haben wir nichts gemacht. Das ist ja einfach das blöde die aufgabe ist nciht anders lasi ich sie reingeschrieben habe. deswegen habe ich sie auch nciht wirklich verdanden. der erst geht sonst immer vom verständnis her
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabe findest du ja auch nicht die Definition, die sollte bei euch in der Vorlesung dran gekommen sein...ansonsten gibt es auch noch andere Möglichkeiten die Definition einer linearen Abbildung in Erfahrung zu bringen.
Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »

ok er hatte es einmal an die tafel fekritzelt:
* f ist homogen:

f(a x) = a f(x)

* f ist additiv:

f(x+y)=f(x)+f(y)

aber hat es weder homogen noch additiv genannt. tut mir echt leid hab ich nciht gewusst. und sorry das ich deine nerven so strapaziere. Nur ich weiß einfach nciht wie ich das anwenden / rechnen soll. ich hab die lösung hier stehen nur ich kann es überhaupt nicht nachvollziehen wie wir darauf gekommen sind und genau da liegt mein problem
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ob man da jetzt die Begriffe der Homogenität/Addivität verwendet ist Nebensache, wichtig ist, dass du mit den angeschriebenen Definitionen umgehen kannst und sie vor allem nachschlägst, wenn du sie gerade nicht auswendig weißt.

Nehmen wir uns mal die Addivität vor, da hattest du ja auch schonmal angefangen.

Seien zwei Vektorräume über einem Körper und eine Abbildung. Damit diese Abbildung linear ist, muss sie also u.a. erfüllen. Überprüfen kann man das durch simples Nachrechnen.

Unsere Abbildung ist jetzt , wie sieht dann aus, wie sieht aus? Besteht Gleichheit?
Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »

ja die sind gleich also f(x + y) = f(x) + f(y)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann zeige mir doch bitte mal den Nachweis dafür. unglücklich
Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »

ah hatte gerade falsch gelesen

f(x + y) = f(x) + f(y) = x+y+1
f(x) + f(y) = (x+1) + (y+1) und das ist nicht linear
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ryouki
f(x + y) = f(x) + f(y) = x+y+1


Was soll diese Zeile bedeuten? verwirrt
Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »

das ist eine gute frage so hatte ich das nämlich in den unterlagen stehen, weil das jemand so an die tafel geschrieben hatte und das wohl richtig sei.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist demnach ?

Versuch mal lieber selber die geforderte Eigenschaft zu überprüfen, alles was du dazu machen musst ist (einzeln!) und zu berechnen und zu vergleichen.
Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) = x+1
f(x+y) = x+y+1
f(x) + f(y) = (x+1) +(y+1)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt vergleichen wir mal, gilt ?
Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »

x+y+1 !=(ungleich) (x+1) (y+1)

d.h nicht linear
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dir fehlt auf der rechten Seite ein "+", aber ansonsten stimmt es. Da die Abbildung nicht additiv ist, kann sie schon nicht mehr linear sein und eine Überprüfung der Homogenität können wir uns sparen.

Untersuche jetzt die anderen beiden mal auf Additivität.
Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »

ok mach ich gleich erstmal ess ich jetzt und brauch auch ne kleine denk pause hab nebenbei noch andere aufgaben rechnet. danke schon mal fürs helfen melde mich dann nochmal. wie kommts eigentlich das du das so gut kannst? studierst du mathe oderliegt es dir einfach im blut?Augenzwinkern
Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »

b) f: |R -> |R f(x) = 5 * x

f(x+y) = 5 * x + 5 * y
f(x) + f(y) = 5 * x + 5 * y
//es ist schon mal additiv jetzt muss ich noch prüfen, ob es homogen ist

f(a, x) = a f(x)
f(a, x) = a*x*5
a f(x) = a*(x*5)
a*x*5 = a*x*5
// Die Funktkion ist homogen. Dadurch das die Funktion Homogen und additiv ist ist die Funktion linear

stimmt das?

c) f: |R² -> |R f(x1, x2) = 5 * x1 + 2

f(x1, y1, x2, y2) = f(x1, x2) + f(y1, y2)

f(x1, y1, x2, y2) = 5 * (x1 + y1) +2
f(x1, x2) + f(y1, y2) =5 * x1 + 2 + 5 * y1 + 2 = 5 * (x1 + y1) + 2 + 2
= 5 * (x1 + y1) + 4
//Die Funktion ist nicht additiv deswegen ist die Funktion auch nciht Linear

Stimmt das alles so oder habe ich was falsch gemacht?

Vielen dank auf jedenfall schon mal für deine Hilfe. Du hast mir sehr weiter geholfen.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ryouki
f(x+y) = 5 * x + 5 * y


Da du ja noch sehr am Anfang bist, würde ich hier noch einen Zwischenschritt einfügen, ansonsten stimmt das soweit alles.

Zitat:
Original von Ryouki
f(x1, y1, x2, y2) = f(x1, x2) + f(y1, y2)


Das ist sehr ungelenk aufgeschrieben, bei solchen Ausdrücken solltest du unseren Formeleditor verwenden. Dein Ergebnis stimmt aber auch hier.
Ryouki Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke ja wusste ich vorher nicht weil das mein erste beitrag hier war. Vielen danke für deine Hilfe. Studierst du mathe, interessiert es dich einfach oder warum bist du so gut darin wenn ich fragen darf?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich studiere Mathematik, ja.
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