RWP von inhomogener Differentialgleichung

23.06.2011, 15:32	bergy	Auf diesen Beitrag antworten »
RWP von inhomogener Differentialgleichung Hey, Würde mich sehr über eine Richtungsweisung für folgende Aufgabe freuen. Es soll die exakte lösung mit f(x)=x für dieses RWP bestimmt werden: $\begin{eqnarray} -y''(x) + q²y(x) = f(x) \end{eqnarray}$ y(0)=0, y(l)=0 im Intervall [0,l] komme hier leider überhaupt nicht weiter, hat jemand eine schöne Website oder Buchempfehlung für den Umgang mit Randwertproblemen ? Dankeschön schonmal, bergy
23.06.2011, 16:09	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass du einen Schreibfehler gemacht hast und das Problem lauten muss $\begin{eqnarray} y''+q^2y=-f(x) \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} y(0)=y(L)=0 \end{eqnarray}$ Dieses Problem beschreibt die statische "Durchbiegung" einer eingespannten Saite, die durch eine x-abhängige Kraftdichte ausgelenkt wird.
23.06.2011, 16:13	bergy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee, sorry hätt ich erwähnen sollen. Es handelt sich um eine Temperaturverteilung y in einem Stab der länge l, welcher an den Rändern die gegebenenen Randtemperaturen hat.
24.06.2011, 10:04	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wundert mich, denn die stationäre Temperaturverteilung T(x) eines Stabes gehorcht bei x-abhängige Wärmequelle f(x) und bei Kühlung der Stabenden auf T(0)=T(L)=0 der Differenzialgleichung $\begin{eqnarray} T''(x)=-f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T(0)=T(L)=0 \end{eqnarray}$ Der 2.Summand q²T(x) wäre bei dir also "zuviel". Aus mathematischer Sicht ist dies das gleiche Problem wie bei der eingespannten, stationären Saite, auf die eine lokale Kraftverteilung f(x) wirkt. Dein Problem $\begin{eqnarray} T''(x)=-f(x)-q^2T(x) \end{eqnarray}$ entspräche dagegen der Situation, wo entlang des Stabes nicht nur eine Wärmequelle f(x) wirkt, sondern zusätzlich eine Kühlung $\begin{eqnarray} q^2T(x) \end{eqnarray}$ , die proportional zur lokalen Temperatur ist. Also: Je wärmer es wird, um so mehr würde lokal gekühlt. ---------- Wie auch immer: Zur Lösung des Problems $\begin{eqnarray} y''+q^2y=-f(x) \end{eqnarray}$ löst man das zugehörige Eigenwertproblem $\begin{eqnarray} y''_n+q^2y_n=-\lambda_ ny_n \end{eqnarray}$ __________() Aufgrund der Randbedingungen hat man folgende (unendlich vielen) Eigenwerte und Eigenfunktionen für n=1,2,3,... $\begin{eqnarray} \lambda_n=\pi^2n^2/L^2-q^2 \end{eqnarray}$ __________() $\begin{eqnarray} y_n(x)=\sin(nx/L) \end{eqnarray}$ __________(*) Mit Hilfe dieser Eigenfunktionen $\begin{eqnarray} y_n \end{eqnarray}$ kann man jede Funktion im Intervall [0;L] in einer Reihe entwickeln. Das gilt auch für die gesuchte Lösung $\begin{eqnarray} y(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} A_ny_n \end{eqnarray}$ und die Wärmequelle $\begin{eqnarray} f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} B_ny_n \end{eqnarray}$ . Einsetzen dieser Ansätze in die Dgl. $\begin{eqnarray} y''+q^2y=-f(x) \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} A_ny''_n +\sum\limits_{n=1}^{\infty} q^2A_ny_n=-\sum\limits_{n=1}^{\infty} B_ny_n \end{eqnarray}$ . Im 1.Summanden ersetzen wir die Ableitung $\begin{eqnarray} y''_n \end{eqnarray}$ mit Hilfe des Eigenwertgleichung (). Das ergibt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n(-q^2y_n-\lambda_ny_n) +\sum\limits_{n=1}^{\infty} q^2A_ny_n=-\sum\limits_{n=1}^{\infty} B_ny_n \end{eqnarray}$ . Koeffizientenvergleich liefert $\begin{eqnarray} -q^2A_n-A_n\lambda_n+q^2A_n=-B_n \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} A_n=B_n/\lambda_n \end{eqnarray}$ . Diese Koeffizienten setzen wir in die obige Reihe $\begin{eqnarray} y(x)=... \end{eqnarray}$ ein und erhalten $\begin{eqnarray} y(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{B_n}{\lambda_n}y_n \end{eqnarray}$ . Setze darin noch die obigen Eigenwerte () und Eigenfunktionen () ein, und du hast das Gewünschte. Die Koeffizienten $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray*}$ ergeben sich auf bekannte Weise als Integrale.

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