banachscher fixpunktsatz abschwächungen beispiele |
23.06.2011, 18:56 | flo888 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
banachscher fixpunktsatz abschwächungen beispiele sei eine abbildung eines vollständigen metrischen X raumes in sich selbst. 1)gesucht ist ein beispiel für f, so dass folgende bedingungen erfüllt sind: i)f ist schwach kontrahierend ii)f hat keinen fixpunkt iii)für 2 verschiedene punkte x und y konvergiert auch der abstand ihrer n-ten iterierten nicht gegen 0. 2)sei nun X kompakt, f schwach kontrahiernd. dann hat f genau einen fixpunkt z (wurde bereits gezeigt). gesucht ist ein beispiel für f, so dass die konvergenzgeschwindigkeit nicht exponentiell ist (exponentielle konvergenz: es gibt konstanten , so dass für alle gilt: ) Meine Ideen: zu 1) ich dachte da an sowas wie i) und ii) sind erfüllt, das ist klar. aber bei iii) bin ich unsicher bzw ich kanns nicht zeigen-.- zu 2) da hab ich mir gedacht: die funktion muss im fixpunkt steigung 1 haben und möglichst nahe an der winkelhalbierenden reinlaufen, daher mein ansatz: hier kann ich die nicht-exponentielle konvergenz nicht zeigen (wenn es denn überhaupt stimmt) |
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24.06.2011, 12:42 | flo888 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
push... was ist denn los, warum antwortet keiner ist die aufgabe zu krass oder unklar formuliert... |
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25.06.2011, 02:33 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstmal nur zu 1): Deine Funktion erfüllt die Bedingung (iii) nicht. Es ist doch und damit ,was für gegen 0 geht. Der Ansatz ist aber schon nicht schlecht. Wenn du die Funktion etwas modifizierst, kannst du erreichen, dass die Bedingung erfüllt wird. |
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25.06.2011, 04:13 | flo888 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke erst mal für die antwort ich hab es nicht mal geschafft die n-te iterierte von meiner vorgeschlagenen funktion überhaupt auszurechnen, jetzt sehe ich es aber auch. wenn ich das richtig sehe, dann ist die 1 im ln zu groß. die müsste ich dann ersetzen durch einen term h(x), der gegen 0 geht, so dass dann irgendwas wie da steht, wobei g monoton steigend ist, aber endlichen grenzwert hat. also, neuer ansatz: mit dazu müsste ich halt die n-te iterierte von f ausrechnen können |
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25.06.2011, 04:43 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Setze doch einfach mal Immer die einfachsten Möglichkeiten zuerst probieren. edit: zu 2): Das Beispiel sollte funktionieren. Schreibe dazu |
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25.06.2011, 14:10 | flo888 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu 1): ist mir natürlich auch als erstes in den sinn gekommen, danach dann . ich komme aber nicht weiter, weil ich zu blöd bin, um zu berechnen zu 2): danke für den tip, ich würde das jetzt so machen: wegen exisitiert kein mit . passt das so, bzw. kann man an der letzten stelle noch irgendwas genauer argumentieren? |
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25.06.2011, 22:06 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich muss zugeben, dass ich bei der Idee mit etwas übersehen hatte. Mir fällt im Moment auch kein einfaches Beispiel ein. Sorry für die Irreführung. Vielleicht kann ja jemand anderes etwas dazu sagen. Was du zu 2) geschrieben hast, sollte wohl reichen, wobei ja zu zeigen ist. Formal-ausführlich kann man z.B. sagen, dass wenn für gilt , dann und dass das gegen geht und damit nicht dauerhaft sein kann, dürfte wohl klar sein. |
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25.06.2011, 22:59 | flo888 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hab die frage auch bei matheplanet gestellt, weil hier so lange keine antwort kam, und folgenden tip bekommen: mittelwertsatz der diff.rechnung verwenden und betrachten. meine überlegung ist folgende (ich hoffe die ableitungen und die abschätzungen stimmen): für geeignetes ist (wg mittelwertsatz)mit für , also gilt für ist das so korrekt? |
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25.06.2011, 23:38 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich kann deine Abschätzung nicht nachvollziehen. Allerdings sehe ich mittels direktem Berechnen von ,dass die Funktion die Bedingungen erfüllt. |
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26.06.2011, 00:01 | flo888 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mein argument ist folgendes: edit: und ist monoton wachsend |
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26.06.2011, 00:22 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber nur aus folgt doch nicht |
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26.06.2011, 00:37 | flo888 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
echt nicht? f ist monoton wachsend. dann gilt doch die erste abschätzung ist wegen und die zweite wegen und induktiv kann man das ganze dann für zeigen. korrigiere mich, wenn ich falsch liege |
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26.06.2011, 01:15 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, mit der Monotonie. Dann ist es richtig. Bis hierhin auch alles: mit für Das scheint aber noch nicht zu stimmen, der Grenzwert sollte von z abhängen. Wie hast du denn hier gerechnet? |
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26.06.2011, 02:08 | flo888 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist von z abhängig, geht aber trotzdem gegen 0 .der bruch ist zwar kleiner als 1, aber geht für gegen 1, deshalb kann man das doch so schreiben?! |
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26.06.2011, 02:56 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht aber nicht gegen 1. Der Grenzwert ist für jedes z unterschiedlich. Für die Aufgabe brauchst du ja auch nur irgendeine Abschätzung gegen eine Zahl größer als 0 nach unten. Ein Ansatz wäre Falls die unendliche Reihe konvergiert (wobei man sich auf z=0 beschränken kann), liefert das eine Abschätzung wie gewünscht. |
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26.06.2011, 03:26 | flo888 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hehe, ich dachte es reicht den nenner auzumultiplizieren und nur den führenden term zu betrachten, so leicht kann man sich irren... du weißt nicht zufällig wohin diese ln-reihe für z=0 konvergiert? |
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26.06.2011, 03:31 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Reihe konvergiert wohl gegen nichts "Schönes". (Zumindest fallen mir und meinem Matheprogramm nichts dazu ein) |
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26.06.2011, 04:16 | flo888 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm... dann bleibt wohl nur abschätzen übrig. eine geometrische reihe oder scheinen mir gute kandidaten als majorante, aber mir fällt keine abschätzung ein, meh-.- |
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26.06.2011, 04:37 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist für Es reicht für hier, das nur für zu zeigen. Dann kann man den Reihenrest mit der von dir genannten Reihe über abschätzen. edit: Da wir diesen Beweis ja jetzt fast fertig haben, möchte ich noch ergänzen, wie man die Aussage (iii) für auch direkter sehen kann: und allgemein Damit |
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26.06.2011, 18:32 | flo888 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke^^ eine frage hätte ich aber noch:
wie kann man das einsehen? |
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27.06.2011, 00:59 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ableitung von ist was genau dann ist, wenn Es ist klar, dass die Ungleichung für große k erfüllt ist. Da außerdem für muss für große k auch sein. Man kann aber auch sehen, dass für alle da schon die Ableitung von gleich ist und somit bei k=3 sein Minimum annimmt, nämlich Also gilt auch für alle |
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