Stetigkeit zeigen

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14.12.2006, 21:23	stehtick	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit zeigen Für jede natürliche Zahl n sei die Funktion gn _ R->R definiert durch $\begin{eqnarray} g_n(x):= \frac{nx}{1+\mid nx \mid } \end{eqnarray}$ (1) Zeigen sie ,dass $\begin{eqnarray} g_n \end{eqnarray}$ stetig ist (2)Bestimmen die Menge D der Reelen Zahlen x , für die der Grenzwert $\begin{eqnarray} g(x):= \lim_{a \to \infty} g_n (x) \end{eqnarray}$ existiert (3) In welchen Punkten ist g : D -> stetig . ich hab so ziemlich keinen plan ,wie ich das Formal zeigen soll. Zu 1 : Mir ist völlig offentsichtlich ,dass es stetig ist . Grund : $\begin{eqnarray} nx \end{eqnarray}$ ist stetig $\begin{eqnarray} 1/1+/mid nx /mid \end{eqnarray}$ ist auch stetig ...stetig mal stetig ergibt stetig . ....aber das reicht best. nicht als begrüdung aus Zu 2: Also ich würde sagen ,dass für alle rellen Zahlen x ausser x= 0 ein Grenzwert existiert . Grund : Zeichnung .... toller Grund -.- --- wie zeige ich das so ,sodass ein matematiker zufrieden ist ? Zu 3: Die Frage ist mir abstrus ? Bezieht sich glaub ich auf 2 ...weil in 1 haben wir ja gezeigt ,dass die funktion stetig ist .... da würd ich auch sagen ,dass es für R/{0} stetig ist. ....weil für allle anderen werte einen Grenzwert gibt ... Ich weiss nicht weiteeeeeer (von hier an blind ,von hier an blind ) <-- Wir sind Helden !
14.12.2006, 21:47	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 1): Einfach etwas mathematischer formulieren. Da der Zähler und der Nenne stetig sind und der Quotient stetiger Funktionen wieder stetig ist, ... 2) Für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ gilt doch: $\begin{eqnarray} g_n(0)=0 \end{eqnarray}$ . Und das soll nicht konvergieren? Mache eine Fallunterscheidung: a) $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ , b) $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ , c) $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ . Dann einfach bei den letzten beiden Fällen die Beträge auflösen und den Grenzwert ausrechnen. Danach dürfte 3) auch nicht mehr schwer fallen. Gruß MSS
14.12.2006, 21:59	stehtick	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit zeigen 1 . ist klar 2. ups ...da hab ich das 1+ ---veschlampt ...^^ ok für alle x gibt es einen Grenzwert. x= 0 => 0 x>0 => 1 x<1 => -1 3. Die funktion ist stetig ,weil es für alle Zahlen x € R einen Grenzwert existiert?...reicht diese Aussage?
14.12.2006, 22:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Aussage reicht nicht. $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist nämlich gar nicht (überall) stetig! Stell dir die Funktion mal vor. Findest du nicht evtl. doch eine Stelle, in der $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ unstetig ist. Gruß MSS
14.12.2006, 22:27	stehtick	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit zeigen ahhhh ...ich würd sagen bei 0 ist ein Sprung. es gibt keine y werte zwischen 0 und 1 ...oder auch zwischen 0 und -1 - daher unstetig. Nur müsste man das vllt formal zeigen ,aber wie ???
14.12.2006, 22:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Z.B. mit der $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ -Definition der Stetigkeit. Gruß MSS
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14.12.2006, 22:31	stehtick	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit zeigen hmm .. nur Sowas kann ich ganz und gar nicht Kann ich mir das vllt irgendwo angucken ,bei ähnlichen Fällen ....weisst du vllt wo ich das nachlesen könnte???
14.12.2006, 22:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib erstmal auf, was die $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ -Definition aussagt. Da du Unstetigkeit zeigen willst, musst du diese Aussage negieren (beides auch hier ins Board schreiben!). Und dann guck mal genau hin, ob du es nicht doch schaffst. Gruß MSS
14.12.2006, 22:48	stehtick	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich schaue mir grade die Definition von Stetigkeit in Wikipedia an und ich muss sagen für mich als nicht-Mathematiker ist das alles sehr kryptisch ,besonders das : Epsilon-Delta-Kriterium

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