Fehlerhafte Aufgabe?

23.06.2011, 18:00

Shortstop

Fehlerhafte Aufgabe?

Hallo Leute!

Ich beschäftige mich mit folgender Aufgabe von meinem neusten Übungsblatt:

Wir betrachten $\begin{eqnarray*} ( \mathbb{N}, \mathfrak{P} (\mathbb{N}) ) \end{eqnarray*}$ und darauf das Maß

$\begin{eqnarray*} P_n (A) = \frac1n | \lbrace k\in \mathbb{N} : 1 \le k \le n , k \in A\rbrace| \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} A \in \mathfrak{P}(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Und zu prüfen ist nun für mehrere Mengen, ob der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} d(A) = \lim_{n \to \infty} P_n (A) \end{eqnarray*}$ existiert.

Und jetzt kommt mein Gedanke, warum die Aufgabe mMn fehlerhaft ist:

Gilt denn nicht

$\begin{eqnarray*} P_n (A) = \frac1n | \lbrace k\in \mathbb{N} : 1 \le k \le n , k \in A\rbrace| \le \frac{n}{n} = 1 \end{eqnarray*}$

? Denn in dieser Menge können ja maximal die Zahlen $\begin{eqnarray*} 1,2,\cdots ,n \end{eqnarray*}$ enthalten sein, womit der Betrag maximal n würde?

Seh ich da irgendwas nicht?

23.06.2011, 18:42

Helferlein

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Und wo ist deiner Meinung nach der Fehler?
Ich kann nichts widersprüchliches daran erkennen, dass ein Maß nie größer als 1 wird.

23.06.2011, 18:48

Shortstop

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Der Fehler ist, dass dann logischerweise der Grenzwert $\begin{eqnarray*} d(A) = \lim_{n \to \infty} P_n(A) \le 1 < \infty \end{eqnarray*}$ immer existiert.

Wir sollen z.B. nachweisen, dass der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} \emptyset , \mathbb N, M_a= \lbrace ma , m\in \mathbb N \rbrace \forall a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert. Das wäre dann alles trivial?!

23.06.2011, 18:56

Math1986

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Zitat:

Original von Shortstop
Der Fehler ist, dass dann logischerweise der Grenzwert $\begin{eqnarray*} d(A) = \lim_{n \to \infty} P_n(A) \le 1 < \infty \end{eqnarray*}$ immer existiert.

Wir sollen z.B. nachweisen, dass der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} \emptyset , \mathbb N, M_a= \lbrace ma , m\in \mathbb N \rbrace \forall a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert. Das wäre dann alles trivial?!

Nein.. die Menge A ist fest, das n geht gegen unendlich

23.06.2011, 18:59

Shortstop

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RE: Fehlerhafte Aufgabe?

Zitat:

Original von Shortstop

$\begin{eqnarray*} P_n (A) = \frac1n | \lbrace k\in \mathbb{N} : 1 \le k \le n , k \in A\rbrace| \le \frac{n}{n} = 1 \end{eqnarray*}$

...aber diese Abschätzung gilt doch für alle n?! Also auch für den Grenzwert...

23.06.2011, 19:03

Math1986

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RE: Fehlerhafte Aufgabe?

Zitat:

Original von Shortstop

...aber diese Abschätzung gilt doch für alle n?! Also auch für den Grenzwert...

Ja, natürlich, das gilt nach Definition für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß, ich kann also nicht sehen was daran falsch ist.. verwirrt

Daraus folgt aber keine Konvergenz:
Nimm mal die Reihe
$\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n\leq 1 \end{eqnarray*}$
Konvergiert diese Reihe?

23.06.2011, 19:07

Shortstop

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Da hast du selbstverständlich Recht, aber so etwas kommt ja hier nicht in Frage. Ich kann mir nicht vorstellen, dass man hier eine nicht-konvergente Folge erhalten kann, aber scheinbar ist dem wohl so...

Dann werd ich mich mal damit abfinden und gespannt auf die Besprechung der Lösungen warten Augenzwinkern

Danke euch trotzdem Wink

23.06.2011, 19:14

Math1986

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Zitat:

Original von Shortstop
Da hast du selbstverständlich Recht, aber so etwas kommt ja hier nicht in Frage. Ich kann mir nicht vorstellen, dass man hier eine nicht-konvergente Folge erhalten kann, aber scheinbar ist dem wohl so...

Der Grenzwert kann ja auch echt kleiner als 1 sein, Beispiel
$\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$

Fang einfach mal an zu rechnen

EDIT: Okay, ich sehe gerade dass der Grenzwert nicht explizit berechnet werden muss, aber trotzdem...

23.06.2011, 19:17

Shortstop

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Es ist z.B. zu zeigen, dass für endliche (nicht disjunkte) Vereinigungen [von Mengen, für die der Grenzwert existiert] der Grenzwert i.A. nicht existiert. Ich müsste also ein Beispiel finden und dann auch noch nachweisen, dass der Grenzwert trotz Beschränktheit durch 0 und 1 nicht existiert... verwirrt

na klasse...

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