Drehmatrix zu gegebener Drehachse berechnen

23.06.2011, 21:04	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehmatrix zu gegebener Drehachse berechnen Hallo, ich habe mal eine Frage zu einem Thema, das zwar schon häufiger hier im Forum angesprochen wurde und auch an anderer Stelle schon des Öfteren diskutiert wurde, das mir bis jetzt aber noch nicht ganz klar wurde. Und zwar geht es darum eine Drehmatrix zu bestimmen, die die Drehung im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ um die Gerade durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ beschreibt. Folgendes habe ich mir dazu schon überlegt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist Eigenvektor zum EW 1, denn um die Achse, also den Vektor, dreh ich ja Ich suche eine ONB, wobei eben genannter Vektor einer der Basisvektoren ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}-1\\0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\-2\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sind zwei Vektoren, s.d. $\begin{eqnarray} \mathfrak{B}:=\left\{\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}-1\\0\\1 \end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\-2\\1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ eine ONB des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ bilden. Und jetzt kommt die Stelle an der ich mir nicht mehr sicher bin. Kann ich sagen, dass die darstellende Matrix $\begin{eqnarray} M_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}} \end{eqnarray}$ der Drehung bezüglich der ONB $\begin{eqnarray} \mathfrak{B} \end{eqnarray}$ folgende Form hat: $\begin{eqnarray} M_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\0&\sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Denn ich hab mir Folgendes überlegt: Mit den letzten beiden Vektoren der Basis befinde ich mich ja in einer Ebene, zu der die Drehachse senkrecht steht. In dieser Ebene befinden sich die zwei berechneten Vektoren, die ebenfalls orthogonal sind. Ich weiß dass ich eine Drehung im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ bezüglich der Standardbasis als folgende Matrix $\begin{eqnarray} M_{\{e_i\}}^{\{e_i\}}=\begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ schreiben kann. Jetzt der Punkt der mir Probleme bereitet: Kann man sagen, dass der zweite Vektor in der Basis $\begin{eqnarray} \mathfrak{B} \end{eqnarray}$ die "Rolle" von $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ und der dritte Vektore die "Rolle" von $\begin{eqnarray} e_2 \end{eqnarray}$ übernimmt? (Ich betrachte die Drehung jetzt erst einmal im zweidimensionalen, d.h. in der Ebene, die vom zweiten und dritten Basisvektor aufgespannt wird). Oder kann man darüber erst mal spontan keine Aussage treffen? Ich bin mir durchaus im Klaren darüber, dass es eine vorgefertigte Formel bei Wikipedia zum Berechnen der Drehmatrix um eine Achse gibt, würde aber trotzdem gerne wissen wo das Problem in meiner Betrachtung liegt bzw. ob es überhaupt eines gibt. Falls irgendwas nicht verständlich ist einfach frage ;-) Vielen Dank schon mal, Mandelbrötchen
24.06.2011, 15:55	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehmatrix zu gegebener Drehachse berechnen Hallo Mandelbrötchen, Deine Ausführungen sehen wirklich gut aus. Bei der Drehrichtung müsst Du noch aufpassen, denn davon hängt es ab, wo das Minus vor dem Sinus steht. Da es sich bei Deiner Basis aber um eine positiv orientierte ONB handelt (die Determinante der zugehörigen Transformation ist +1), stimmt Dein Ergebnis. Gruß, Reksilat.
24.06.2011, 20:40	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehmatrix zu gegebener Drehachse berechnen Sehr gut, du hast meine Frage beantwortet. Wusste nicht wie ich die Orientierung meiner Basis rausfinde, jetzt hab ich es aber denk ich verstanden (wobei ich doch noch fragen muss, welche Transformation du betrachtest). Sollte ich als Determinante -1 rausbekommen müsste ich das Minus beim Sinus in der zweiten Spalte schreiben und der Sinus der dirtten Spalte wäre positiv, oder? Vielen Dank übrigens für die schnelle Hilfe
24.06.2011, 20:56	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehmatrix zu gegebener Drehachse berechnen Mit der Transformation meinte ich diejenige von der Standardbasis (positiv orientiert) zu Deiner Basis $\begin{eqnarray} \mathfrak B \end{eqnarray}$ . Das ist ja gerade die Matrix, die als Spalten Deine Basisvektoren hat. Wäre die Basis negativ orientiert, würdest Du mit der obigen Matrix im negativen Drehsinn drehen. D.h. die ursprünglich gewünschte Drehung um $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ würdest Du erhalten, wenn Du $\begin{eqnarray} -\alpha \end{eqnarray}$ einsetzt. Das kann man aber ausgleichen, indem man die Vorzeichen vor Sinus umdreht, da $\begin{eqnarray} \cos (-\alpha)=\cos(\alpha) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha) \end{eqnarray}$ . Ist hier aber wie gesagt nicht nötig. Gruß, Reksilat.
25.06.2011, 11:43	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehmatrix zu gegebener Drehachse berechnen Perfekt, so dachte ich mir das fast schon Vielen Dank!

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