Grenzen bei Faltung von Verteilungsdichten

24.06.2011, 12:23

Stud-entin

Grenzen bei Faltung von Verteilungsdichten

Hallo!

Ich soll die Verteilungsdichten von $\begin{eqnarray*} X_{1}+X_{2} bzw. X_{1}+X_{2}+ X_{3} \end{eqnarray*}$ berechnen, wobei die Zufallsvariablen unabhängig und gleichverteilt auf [-1,1] sind.

Der Träger und die Anwendung der Formel sind mir noch klar:
$\begin{eqnarray*} <br /> T_{X_{1}+X_{2}}=[-2,2] \end{eqnarray*}$ für u aus [-2,2] gilt:

$\begin{eqnarray*} f_{X_{1}+X_{2}}(u)= f_{X_{1}}*f_{X_{2}}(u)= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^{\infty} \! f_{X_{1}}(u-y)*f_{X_{2}}(y) \, dy= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1} ^{u+1} \! \frac{1}{4} \, dy \end{eqnarray*}$ für -2<u<=0
$\begin{eqnarray*} \int_{-1} ^{u+1} \! \frac{1}{4} \, dy \end{eqnarray*}$ für -2<u<=0

Genau hier komm ich nicht weiter. Wie weiß ich, wie ich die Grenzen vom Integral bzw. von u wählen muss? verwirrt

Danke im Voraus

24.06.2011, 13:52

Huggy

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RE: Grenzen bei Faltung von Verteilungsdichten

Zitat:

Original von Stud-entin
$\begin{eqnarray*} f_{X_{1}+X_{2}}(u)= f_{X_{1}}*f_{X_{2}}(u)= \end{eqnarray*}$

Wie du hier die rechte Seite gemeint hast, ist mir unklar. aber das macht nichts. Die beiden nächsten Zeilen sind richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^{\infty} \! f_{X_{1}}(u-y)*f_{X_{2}}(y) \, dy= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1} ^{u+1} \! \frac{1}{4} \, dy \end{eqnarray*}$ für -2<u<=0

Es fehlt also nur der Bereich 0 < u <= 2. Den man bekommt doch analog zu dem Bereich u <= 0.

Aus $\begin{eqnarray*} f_{X_2} \end{eqnarray*}$ hat man $\begin{eqnarray*} y \in [-1, 1] \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} f_{X_1} \end{eqnarray*}$ bekommt man $\begin{eqnarray*} u-y \in [-1, 1] \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y \in [-1+u, 1+u] \end{eqnarray*}$ . Daraus ergibt sich für die untere Grenze min und die obere Grenze max des Bereichs, in dem der Integrand > 0 ist:

$\begin{eqnarray*} min=Max(-1, -1+u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} max = Min(1, 1+u) \end{eqnarray*}$

Nun kann man sich die Grenzen als Funktion von u daraus rechnerisch bestimmen, aber oft denkt das Auge leichter und besser als das Gehirn. Mach dir also eine u-y Skizze und trage alle potentiellen Grenzen ein. Daraus sieht man sofort min und max als Funktion von u.

24.06.2011, 16:15

Stud-entin

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RE: Grenzen bei Faltung von Verteilungsdichten
Danke für die Antwort!

Ok, mit dieser Anleitung komm ich auf die Grenzen u-1 bzw 1.

Nur woher weiß ich, dass y bzw u-y in [-1,1] liegen und wie finde ich heraus, wie ich die Grenzen für u also einmal
-2<u<0 und dann
0<=u<2 wähle.

Im nächsten Schritt soll ich die Faltung ja dann für 3 Zufallsvariablen aus [-1,1] machen und bekomm dem nach auch 3 Integrale am Schluss.

hier wären die Grenzen für u lt. Lösung:
-3<=u<=-1
-1<u<1
1<=u<3.

Hat das einen bestimmten Grund, dass die überhaupt nicht mit den vorigen übereinstimmen?

24.06.2011, 17:18

Huggy

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RE: Grenzen bei Faltung von Verteilungsdichten

Zitat:

Original von Stud-entin
Nur woher weiß ich, dass y bzw u-y in [-1,1] liegen

Na, in der Aufgabe steht doch, dass $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ in [-1, 1] gleichverteilt sind. Also sind ihre Dichten außerhalb dieses Intervalls 0.

Zitat:

und wie finde ich heraus, wie ich die Grenzen für u also einmal
-2<u<0 und dann
0<=u<2 wähle.

Ich wiederhole, am einfachsten siehst du es an einer Skizze. Bei u = 0 wechselt die untere Grenze von -1 auf -1+u. Was man natürlich auch arithmetisch sieht, weil für u > 0 ja -1 + u > -1 ist, währen für u < 0 -1 > -1 +u gilt.. Analog ist es bei der oberen Grenze.

Zitat:

hier wären die Grenzen für u lt. Lösung:
-3<=u<=-1
-1<u<1
1<=u<3.

Hat das einen bestimmten Grund, dass die überhaupt nicht mit den vorigen übereinstimmen?

Einfach das Verfahren noch mal durchziehen. Die Details ergeben sich dann von allein. Dass der Gesamtbereich jetzt [-3, 3] ist, sollte klar sein.

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