beweis bijektivität

24.06.2011, 13:04	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
beweis bijektivität Meine Frage: hey! ich hab die mengen $\begin{eqnarray} X=\left\{ x,y \in \mathbb R \| x^2+y^2=1\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y=\left\{A\in Gl_2(\mathbb R) \| A^TA=E_2, det(A)=1\right\} \end{eqnarray}$ jetz soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} X \to Y, x^2+y^2 \mapsto \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bijektiv ist.... Meine Ideen: ich weiß sowohl was injektiviät, also auch surj. und bij. sind und auch ihre definitionen. Alerdings hatten wir bisher nur Aufgaben, in denen im urbildraum und im zielraum die selben elementtypen sind (also nur zahlen oder nur matrizen).... danke für hilfe, ich mag nur hinweise oder ansätze, den größten teil will ich allein schaffen
24.06.2011, 14:11	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte die Menge X nicht eher $\begin{eqnarray} X=\left\{ (x,y) \in \mathbb R^2 \| x^2+y^2=1\right\} \end{eqnarray}$ sein ?
24.06.2011, 14:28	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
eigentlich war es $\begin{eqnarray} X=\left\{ x,y \in \mathbb R : \|x+yi\|=1\right\} \end{eqnarray}$ hab gedacht des ist ja des glieche wie die kreisfunktion
24.06.2011, 14:32	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach meinem Verständnis ist es so, dass ein Tupel (x,y) auf eine Matrix abgebildet wird. Wenn man aber die Menge so schreibt wie Du sie schreibst, ist mir nicht klar ob die Menge aus Zahlen oder Zahlentupeln besteht.
24.06.2011, 14:34	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, das muss ich ja dann auch noch ändern :p $\begin{eqnarray} X \to Y, x+yi \mapsto \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
24.06.2011, 14:45	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
So wird ein Schuh draus. Du bildest also komplexe Zahlen auf eine Matrix ab. Injektivität : Es sei also $\begin{eqnarray} f(x) = f(y) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x = x_1 + ix_2, y= y_1 + iy_2 \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} \|x\| = \|y\| = 1 \end{eqnarray}$ Dann ist also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 & -x_2 \\ x_2 & x_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 & -y_2 \\ y_2 & y_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeige jetzt, dass $\begin{eqnarray} x = y \end{eqnarray}$ gilt. (Das steht eigentlich schon da )
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24.06.2011, 14:55	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
und das gilt als beweis? cool =)
24.06.2011, 15:25	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, Du musst halt $\begin{eqnarray} f(x) = f(y) \Rightarrow x = y \end{eqnarray}$ zeigen. Und 2 Matrizen sind gleich, wenn alle Einträge gleich sind. Und naja, dann stehts ja schon da.
25.06.2011, 11:57	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
jäp, danke
25.06.2011, 12:43	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist aber nur die injektivität. Die Surjektivität musst Du auch noch nachweisen.
25.06.2011, 13:50	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
des mag ich dann lieber allein machen. Die prof hat zwar gesagt man soll die hausaufgaben zusammen machen, aber in ner klausur muss man dann ja auch allein drauf kommen

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