Gleichseitiges Dreieck in der Gaußschen Zahlenebene

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ErRoRr-FuNCtiOn Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichseitiges Dreieck in der Gaußschen Zahlenebene
Hi, hab mal ne Frage zu einer Aufgabe!

sind genau dann Ecken eines gleichseitigen Dreiecks wenn gilt:




Das kann man auch so schreiben:





Da sieht man nun dass auf der rechten Seite einmal zyklisch vertauscht wurde.

Wie kann ich jetzt beweisen dass beide Seiten gleich sind? Kann ich das Assoziativgesetz,Kommutativgesetz anwenden, woher weiß ich dass es gilt?
Oder muss ich für als komplexe Zahl schreiben und es mit den Rechenregeln für komplexe Zahlen beweisen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte zunächst die Translation



durchführen ( ist der Schwerpunkt des Dreiecks). Dann hat das Dreieck mit den Ecken



den Ursprung als Schwerpunkt. Im übrigen ist es kongruent zum Ausgangsdreieck. Jetzt noch die Drehstreckung



Sie führt das Dreieck mit den Ecken in ein zu ihm (und damit auch zum Dreieck mit den Ecken ) ähnliches Dreieck über. Es hat die Ecken



Insbesondere ist . Das Dreieck ist daher genau dann gleichseitig, wenn (oder ) primitive dritte Einheitswurzel ist, also der Gleichung genügt. Jetzt mußt du nur resubstituieren, um dies in eine Gleichung für zu übersetzen.
ErRoRr-FuNCtiOn Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man das nicht einfacher zeigen,das sieht mir jetzt ziemlich komplex aus.
Gibt es da keinen einfacheren Ansatz?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es.
ErRoRr-FuNCtiOn Auf diesen Beitrag antworten »

In welche Richtug geht der Beweis? Was für einen Ansatz würdest du wählen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Solange du keinen Wert auf meine Meinung legst, wird das nichts. Ich hatte dir ja versprochen, dich nicht mehr mit mathematischen Hinweisen zu belästigen.
 
 
ErRoRr-FuNCtiOn Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Bist wirklich ein toller Typ Wink ...tssss mache Leute sind einfach nur komisch ...du sagst du willst mich nicht belästigen aber dann hier im Beitrag die beleidigte Leberwurst spielen!Hab kein Problem damit dass du mir keine Hilfestellung geben willst, aber dann lass mich auch in Ruhe und ignoriere die Beiträge einfach und lass behalte deine Kommentare für dich.Danke...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ ErRoRr-FuNCtiOn

Solange Arthur noch böse ist, mußt du wohl mit meinem Ansatz vorliebnehmen. Der ist übrigens gar nicht so rechenaufwendig, wie du zu glauben scheinst. Vielleicht solltest du ihn einfach einmal genau durcharbeiten.
ErRoRr-FuNCtiOn Auf diesen Beitrag antworten »

JA habe schon damit angefangen. Dein Ansatz geht ziemlich stark in die Physik,nicht so sehr die typische Analysis, Ist so aber bestimmt lösbar!Mir ist nur etwas anderes vorgeschwebt weil die Aufgaben für die Analysis ist. Ich mach das jetzt mal so und vllt fällt mir ja noch was anderes dazu ein. Trotzdem danke!
manmanu Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ich verfolge gerade diesen beirag muss diese aufgabe auch lösen aber ich verstehe nicht wie der ansatz uzu machen ist
ich hatte einfach versucht 3 komplexe zahlen zu wählen von mir aus auch der schwerpunkt im nullpunkt un kann ich damit nicht einfach einsetzten und nachrechnen um zu sehen dass es gilt?

lg manu
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe hat wohl wenig mit Analysis zu tun. Noch weniger allerdings mit Physik. Das ist wohl eher Geometrie und Algebra der komplexen Zahlen. Vielleicht Folgendes zur Beweisidee: Ich versuche, das Dreieck "in den Ursprung" zu schieben, weil dort übersichtlichere rechnerische Zusammenhänge bestehen. Die erste Operation ist eine reine Verschiebung, das Dreieck ändert also weder Größe noch Form, es ist kongruent zum Startdreieck. Die zweite Abbildung ist eine Drehstreckung mit Zentrum (dazu muß man nur wissen, daß die Multiplikation mit einer komplexen Zahl, hier mit , eine solche Drehstreckung bewirkt). Der "Dreh"teil ist auch eine Kongruenzabbildung, der "Streck"teil ändert allerdings die Größe der Figur, ist also eine Ähnlichkeitsabbildung. Der gesamte Vorgang von nach ist also eine Ähnlichkeitsabbildung. Das macht aber nichts, denn dabei bleibt ja die Form des Dreiecks erhalten, es wird ja nur maßstabsgerecht verkleinert oder vergrößert. Das Dreieck mit den Ecken ist also genau dann gleichseitig, wenn das mit den Ecken es ist.

Was hat man nun mit dem Dreieck gewonnen?
Zunächst einmal gilt . Damit hat man eine "schöne" Zahl als Dreiecksecke. Ferner hat das Dreieck den Schwerpunkt (das liegt an der Translation , die ja genau dafür sorgt; die anschließende Drehstreckung verändert an dieser Sachlage nichts). Wenn man zwei Ecken des Dreiecks und den Schwerpunkt des Dreiecks festlegt, liegt aber das Dreieck insgesamt fest, denn die dritte Ecke kann aus ja berechnet werden. Damit ist das Dreieck genau dann gleichseitig, wenn eine der Ecken eine primitive dritte Einheitswurzel ist (beachte auch ). Diese Einheitswurzeln sind aber die Nullstellen des Polynoms . Folglich müssen und den Faktor zum Verschwinden bringen. Und genau das führt auf die Gleichung



als die die Gleichseitigkeit charakterisierende Bedingung. Und das muß jetzt nur noch in die zurückübersetzt werden. Da muß man eben ein bißchen rechnen. Es ist aber nicht allzu schwer.
tar Auf diesen Beitrag antworten »

mein post kann gelöscht werden .... smile
manmanu Auf diesen Beitrag antworten »

@ leopold :verstehe es schon zum teil

ich weiß nun die eckpunkte des dreieck aber was hat es mit den z zu tun
irgendwie seh ich da kein zusammenhang wie ich das dann zurückführen soll in meine variablen

bringt jemand licht ins dunkel??
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann verraten wir die Lösung.


Dreieck 1, Ecken:


Dreieck 2, Ecken:








Dreieck 3, Ecken:








Bedingung für Gleichseitigkeit (aller drei Dreiecke):




Zurückführung auf das zweite Dreieck:




Zurückführung auf das erste Dreieck:



manmanu Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nun mein problem weil das hatte ich auch so auf meinem blatt jjedoct mit en paar fehllern

was hat dies nun mit

dem zu tun???

steh ich auf dem schlauch? steht schon alles da und ich erkenne es nicht?
Michi85 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo loepold,

danke für die Tipps bzw. die Lösung. Wir haben es jetzt raus.
Aber weißt du auch noch was zur Rückrichtung? Also angenommen Aussage gilt ==> Ecken eines gleichseit. Dreieck??

Gruß
Michi
isi1 Auf diesen Beitrag antworten »



ergibt ausmultipliziert



Dies ist wohl die bessere Methode.
Ich hatte es mit der Bedingung für ein gleichseitiges Dreieck versucht:



daraus in die Originalgleichung eingesetzt.

Der TI89 löst es mühelos, ich habe es nicht geschafft.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ansatz führt auch - sogar schneller - zum Ziel. Denn die sind als primitive sechste Einheitswurzeln Nullstellen des Polynoms . Man hat nämlich die folgende Faktorzerlegung:



Der quadratische Faktor hat die primitiven dritten Einheitswurzeln als Nullstellen, also bleiben für die sechsten primitiven Einheitswurzeln. Und wenn du nun in



nach auflöst und in einsetzt, erhältst du das Gewünschte.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
isi1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichseitiges Dreieck in der Gaußschen Zahlenebene
Zitat:
Original von ErRoRr-FuNCtiOn
sind genau dann Ecken eines gleichseitigen Dreiecks wenn gilt:

mit den Rechenregeln für komplexe Zahlen beweisen
Hallo ErRoRr-FuNCtiOn,
jetzt, so glaube ich, hab ichs:
soll genau dann gleich 0 sein, wenn Ecken eines gleichseitigen Dreiecks sind.

Die Seiten des Dreiecks
sind dann gleichseitig, wenn (Drehung der Vektoren um 120° bzw. 240°)




Die gegebene Gleiching umgeformt:
| *2

| binomische Formeln



Und nun die Seiten eingesetzt:
| s² ausklammern

, da die Klammer 0 ergibt

NR:

Edit: Ausdrücke der Form auch in der Form u.s.w. angegeben

Herzliche Grüße aus München, isi
Michi85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber das mit diesen primitive Einheitswurzeln etc. hatten wir alles noch gar nicht. Ich hab auch kein Plan, was sein soll und so weiter.
Hilfe....
isi1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Michi85
Ok, aber das mit diesen primitive Einheitswurzeln etc. hatten wir alles noch gar nicht. Ich hab auch kein Plan, was sein soll und so weiter.
Hallo Michi85, das sollte kein Problem sein, es geht nur darum, den Vektor, der für die Dreiecksseite steht, zu drehen, so dass er gleich der anderen Dreiecksseite ist. Das geht auch mit einem Multiplikator der Form (a+ib):
und



ich trage es oben nach.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Michi85

Das Bild im Anhang zeigt dir, warum die sechste Einheitswurzel



die Gleichung erfüllt. Dazu mußt du nur wissen, daß auf dem Einheitskreis liegt, und zwar im 60°-Winkel zur reellen Achse. Das Quadrieren verdoppelt den Winkel (und quadriert den Betrag, aber der ist ja hier 1, bleibt also gleich). Den Rest kannst du der Zeichnung entnehmen (Addition von Vektoren).

Wenn man nun eine komplexe Zahl mit diesem multipliziert, so kann man sich das so vorstellen, daß der Vektor, der von 0 nach zeigt, um 60° gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird. Genau das war der Ansatz von isi1:

Drehe den Vektor, der von nach zeigt, mit 60° um



Wenn dieser gedrehte Vektor nun zufällig mit dem Vektor, der von nach zeigt, übereinstimmt, so ist das Dreieck mit den Ecken gleichseitig:



Und jetzt mein Vorschlag: Diese Gleichung nach auflösen und in einsetzen. Denn diese Gleichung wird von erfüllt (siehe Zeichnung).

Bei einer Drehung im Uhrzeigersinn mußt du statt das an der reellen Achse gespiegelte nehmen: . Aber auch das erfüllt ja die Gleichung . Mache eine entsprechende Skizze.

Wenn du das mit der komplexen e-Funktion noch nicht hattest, ist das kein Problem. Es reicht, wenn du dir wie in der Zeichung definiert vorstellst. Allerdings sollte dir die geometrische Multiplikation der komplexen Zahlen bekannt sein (Addieren der Winkel, Multiplizieren der Beträge). Sonst kannst du mit dieser Lösung nichts anfangen.
Haacon Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt nicht erkennen können ob der Beitrag noch aktuell ist, aber ich beschäftige mich grad mit der gleiche n Frage und hab versucht den Beweis hier nachuvollziehen, kann mir aber absolut nicht erklären woher dieses Kriterium mit der dritten Primitivwurzel kommt (oder was das eig. ist) wäre für weitere Erläuterungen dankbar
isi1 Auf diesen Beitrag antworten »
Moivre?
Machen wir gerne, Haacon,

Du müsstest nur sagen, woran es hakt. Obige Diskussion arbeitet hauptsächlich mit komplexen Zahlen und dem Satz, benannt nach Abraham Moivre.
http://de.wikipedia.org/wiki/Moivrescher_Satz
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