Abstand einer Geraden vom Ursprung

24.06.2011, 15:44	StefanB	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand einer Geraden vom Ursprung Meine Frage: Hallo, ich versuche gerade die Verfahrensweisen zur Bestimmung des Abstands einer Geraden zum Ursprung zu verstehen. Ich habe hierzu zwei Verfahren (wobei die Hessesche Normalform in der Vorlesung behandelt wurde) Berechnet habe ich mir die Parameterdarstellung einer Aufgabe (Gerade g mit P(3,1) und q=(-2,2) Hierfür habe ich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Zerlegen des Vektors aus der Parameterdarstellung: $\begin{eqnarray} a = a_{\|\|} + a_{\perp} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{\|\|} = <e,a>e \end{eqnarray}$ wobei der Abstand dann die Länge von $\begin{eqnarray} a_{\|\|} \end{eqnarray}$ ist. Laut meinem Buch gilt hier die Darstellung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = a +ke \end{eqnarray}$ Wobei a = Aufpunktvektor und e = Richtungsvektor. Also setze ich ein und komme auf: $\begin{eqnarray} \|a_{\perp}\| = \sqrt{4714} \end{eqnarray}$ Das zweite Verfahren ist das bestimmen aus der Normalform: $\begin{eqnarray} n_1 x + n_2 y = c \end{eqnarray}$ Beim Umformen der Parameterdarstellung erhalte ich: $\begin{eqnarray} x+5y = 8 \end{eqnarray}$ Und damit $\begin{eqnarray} n_1 = 1 ; n_2 = 5 \end{eqnarray}$ woraus sich der Abstand bestimmt: $\begin{eqnarray} d(g,0) = \frac{c}{\sqrt{1²+5²}} = \frac{8}{\sqrt{1²+5²}} = \frac{8}{\sqrt{26}} \end{eqnarray}$ Was ja etwas ganz anderes ist als oben... Ich verstehe nicht wann man welches Verfahren anwendet, da ja wohl scheinbar beide zu unterschiedlichen Ergebnissen führen und daher eventuell nur in bestimmten Vorraussetzungen angewendet werden können?
24.06.2011, 20:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
e steht für einen Einheitsvektor. Du musst also seine Länge auf eins runterrechnen. Dann klappts auch mit dem Ergebnis.
25.06.2011, 12:48	StefanB	Auf diesen Beitrag antworten »
So gehts Danke!

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