Klausurvorbereitung Ingenieursmathematik Komplexe Zahlen |
| 24.06.2011, 18:38 | xlep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Klausurvorbereitung Ingenieursmathematik Komplexe Zahlen Erste Aufgabe: z = ( ( 1 / (1+i) ) - ( 1 / (1 - i) ) ) ^ (2n) Anzugeben ist der Real- und Imaginärteil für alle n µ N. (finde die genauen Zeichen nicht, aber ich denke ihr versteht worums geht 
)durch umformen komme ich im Endeffekt auf z = (-i)^(2 n) Habe das mit Wolframalpha schon getestet sollte auf jedenfall stimmen, allerdings steht in der Aufgabe ausdrücklich das man Realteil und Imaginärteil angeben soll und WolframAlpha gibt beide an (eine Schwingung zwischen 1 und -1). Ich verstehe nicht warum es hier überhaupt einen Realteil gibt.... Kann mir bitte wer erklären wie sich hier Real und Imaginärteil bilden und was ich als Ergebnis angeben müsste (Mein Ergebnis war: (-i) ^ (2n) = ( (-i) * (-i) ) * n, also ist z = 0 für n = 0 und z = -1 für jedes andere n) vlt. noch als kleiner Hinweis: WolframAlpha hat als Alternativformel für das Ergebnis noch z = e^(-i pi n) Zweite Aufgabe: Gleich als Warnung: Ich habe noch nie so eine Aufgabe gemacht, also habe ich nicht wie bei der ersten ein "falsches"/unvollständiges Ergebnis, sondern schlichtweg keine Ahnung ^^ Aufgabenstellung ist folgende: 'Stellen Sie in der Gaußschen Zahlenebene den durch B beschriebenen Bereich graphisch dar. In der Zeichnung sollen wichtige Punkte des Bereiches exakt eingetragen werden. Eine grobe Skizze genügt nicht!'  http://mitglied.multimania.de/philippborst/menge.jpgHier verstehe ich im Grunde ziemlich nichts.... Ich nehme an das j hier statt i verwendet wird, also als die Imaginärzahl j² = wurzel (-1) Ich stehe komplett auf dem Schlauch... wäre super wenn mir hier jemand erklären kann wie ich vorgehen muss bzw. was zum Teufel diese Menge überhaupt bedeutet |
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| 24.06.2011, 20:21 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Klausurvorbereitung Ingenieursmathematik Komplexe Zahlen
soweit schonmal richtig.
Also das nicht so streng sehen, wenn du kein Geld hast, könnte dein Kontostand trotzdem Null sein. ( Eine ganze Zahl ist eben auch eine komplexe Zahl.. )
sehr richtig, komplexe Zahlen schreibt man besser in Polarkoordinaten. Berechnungen sind dann einfacher.Für Re und Im - Anteil wieder in kartesische umwandeln. extra als "e hoch i mal phi" geschrieben! Jetzt vllt. noch die Formel von de Moivre ( Polar-> Kartesisch) und ... |
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| 24.06.2011, 20:45 | xlep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok, ich versuche das nochmal genauer zu erklären. ooooook mir ist beim Schreiben gerade was aufgefallen, bitte bestätigen/korrigieren: In der Aufgabenstellung steht das Real- und Imaginärteil angegeben werden sollen. Das Minus vor dem i ist zu vernachlässigen da es nur gerade Potenzen gibt (-> 2n ) ist das Ergebnis für z : i^2, i^4, i^6, ... usw wenn n größer wird. dh mein Ergebnis ist je nach n aus den Natürlichen Zahlen: 1 oder -1 Ist das jetzt der Real- oder Imaginärteil und warum? |
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| 24.06.2011, 22:02 | xlep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok, noch ne "Erleuchtung" ( kann nichtmehr editieren, daher doppelpost): z = (-i) ^ (2n) = ((-i) ^ 2) ^n = -1 ^ n Also schwankt z zwischen -1 und 1 und der Realteil ist -1 <= Re(z) <= 1 ; Gibt es dazu jetzt noch einen Imaginärteil? Suche immernoch irgend eine Hilfe zur zweiten Aufgabe... Selbst eine Erklärung was diese Menge genau bedeutet wäre super! Blicke da irgendwie nicht durch. |
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| 24.06.2011, 22:19 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dass der Realteil zwischen -1 und 1 liegen soll ist unverständlich, sofern wir doch annehmen dürfen, dass n eine natürliche Zahl ist. Wäre sie es nicht, dann hätten wir tatsächlich eine Schwingung... ok. also dich interessiert das alles mit dem e hoch i phi nicht 
demnach die lapidare Antwort: ja, 1 oder -1 ist selbstredent der Realteil. Der Imaginärteil ist dann aller Wahrscheinlichkeit nach Null. |
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| 25.06.2011, 14:48 | xlep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke nochmal für die Hilfe, inzwischen verstehe ich das ganze. Habe mich viel zu sehr auf das Ergebnis von WolframAlpha versteift und total übersehen das das Programm die Bedingung "n ist eine natürliche Zahl" gar nicht kannte... Suche immernoch Hilfe für die zweite Aufgabe. Eine erklärung was genau diese Mengendefinition bedeutet wäre schon eine Riesen Hilfe! Inzwischen ist noch eine dritte Aufgabe dazu gekommen die ich nicht lösen kann: "Prüfen sie ob das uneigendliche Integral existiert, und berechnen sie gegebenenfalls seinen Wert." Mein Problem ist das ich die Stammfunktion nicht finde. Zuerst dachte ich das das ganze evtl per substitution funktioniert, aber das war ein Schuss in den Ofen. Per Partialbruchzerlegung bleibe ich auch hängen... Ich komme dabei auf die Gleichung 1 = A(u+1) + B(sqrt(u)) aber bekomme dann beim berechnen von A und B nur Blödsinn raus. Ich denke das ich mir der Partialbruchzerlegung auf dem richtigen Weg bin, aber mir irgendwo steckt noch ein Fehler drin. |
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| 26.06.2011, 19:43 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Falls du nochmals reinschaust: das existiert nicht denn existiert nicht.
------------------------- du meintest aber sicher etwas Anderes... |
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| 27.06.2011, 13:38 | xlep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja das muss natürlich 'du' am Ende heißen. Ich habe die Lösung gestern gefunden (meine Schlaue Formelsammlung hat dazu ein bestimmtes Integral ausgespuckt), aber ich hatte die Frage noch offen gelassen, da ich dachte evtl findet jemand eine Herleitung für das Ergebnis. Die Lösung für das ganze ist lt Formelsammlung pi / sin(1/2 pi) ist pi /sin (90°) = pi und das wiederum stimmt mit dem Ergebnis von WolframAlpha überein. |
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| 27.06.2011, 13:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wieso? hast du es denn mit der Substitution u = x² versucht? |
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| 27.06.2011, 15:01 | xlep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hatte ich versucht: Wenn ich x^2 = u einsetze muss ich du durch dx / 2x ersetzen. Damit komme ich auf 1/ ( 2x^2 + 2x). Das ganze kann ich nicht lösen und eine weitere Substitution würde nix bringen weil ich dann 2 Variablen in der Gleichung habe... Wie gesagt ich habe in der Formelsammlung inzwischen die "Lösung" pi/sin(1/2 pi) gefunden und vermute ehrlich gesagt das diese Herleitung meinen Horizont bei weitem übersteigt
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| 27.06.2011, 15:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ist falsch. Irgendwas ist bei der Substitution schief gelaufen. |
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| 27.06.2011, 17:50 | xlep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sorry habe vorher in der Eile Blödsinn getippt. hier nochmal der vollständige weg: Hier mal das einsetzen in den Nenner: sqrt(u) * (u + 1) -> mit x² = u -> sqrt(x²) * (x² + 1) -> x(x²+1) = x³+x nun kann ich nicht einfach du mit dx im Integral ersetzen sondern muss das ganze durch: du / dx = 2x -> dx = du / 2x ersetzen, richtig? Damit wäre ich dann bei meinen 1/ ( 2x(x³+x) ) = 1/(2x^4 + x^2) Ich habe trotzdem keinen Plan wie ich das ganze Integrieren soll ^^ |
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| 28.06.2011, 08:25 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du übersiehst hier nur, daß du über u integrierst und somit im Integral das "du" (obwohl du es selbst noch sagst) ersetzen mußt. |
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| 28.06.2011, 12:00 | xlep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja das stimmt, wieder falsch geschrieben... trotzdem stehen die 2x im Nenner und ich komme auf 1/(2x^4 + 2x^2) und von dort nicht weiter
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| 28.06.2011, 12:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, du rechnest da immer noch falsch. Ich sage das jetzt zum 3. Mal. |
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| 28.06.2011, 13:30 | xlep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok ich verstehe jetzt was du meinst. Habe das noch nie so gemacht. Allerdings hänge ich dann wieder beim gleichen Problem: Hoffe das diesesmal wenigstens der Rechenweg stimmt ... x = sqrt(u) -> dx / du = 1/2 * (u ^ (-1/2)) -> du = dx / (2*sqrt(u)) = dx * 2x Damit Ende ich dann beim Integral von 2x / ( x ( x^2 + 1)) = 2 / ( x^2 + 1) und komme wieder nicht weiter, |
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| 28.06.2011, 13:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der Weg stimmt, aber komplizierter ging es nicht.
Und ich sag noch: nimm u = x² . Dann ist du/dx = 2x und somit du = 2x * dx. So. Jetzt haben wir noch (bis auf den Faktor 2) das Integral . Das ist ein bekanntes Grundintegral. EDIT: ganz hat deine Rechnung doch nicht gestimmt: Richtig ist: x = sqrt(u) -> dx / du = 1/2 * (u ^ (-1/2)) -> du = dx * (2*sqrt(u)) = dx * 2x |
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| 28.06.2011, 14:54 | xlep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok, ich glaube so langsam raffe ich das ganze. Die Stammfunktion von 1/ (x^2 + 1) wäre der arctan(x) und damit komme ich dann auch auf die Lösung Pi Danke für die viele Geduld 
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| 28.06.2011, 15:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
OK. Im übrigen kann man auch das (falsche) problemlos integrieren.
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