unendliches Produkt

24.06.2011, 20:58	KleineSteffi	Auf diesen Beitrag antworten »
unendliches Produkt Meine Frage: Hey Ich soll folgendes zeigen : $\begin{eqnarray} \prod_{k=0}^{ \infty} \left( 1+z^{2^{k}} \right) = \frac{1}{1-z}<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \prod_{k=0}^{ \infty} \left( 1+z^{2^{k}} \right) = exp(\sum\limits_{k=0}^{\infty} log( 1+z^{2^{k}})<br /> \end{eqnarray}$ nun dachte ich dass man vielleicht auf die reihe über log(1+z) zurückgreifen könnte, doch dann hat man ne doofe doppelsumme. hat vielleicht jemand einen tipp für mich, wie ich das sinnvoll angehen kann? danke, lieber gruß, steffi
24.06.2011, 22:38	terri	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht werde ich gleich mit Stöcken und Mistgabeln aus dem Forum gejagt, aber ich würde versuchen den Nenner rüberzumultiplizieren und dann zu zeigen, dass sich alles bis auf eine 1 raushebt ? Nur eine Idee, kann auch falsch sein.
24.06.2011, 22:43	lenzilenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwas stimmt doch da nicht. Nimmt man z=3: Dann steht rechts -1/2. Links kommt unendlich raus. Fehlt da vielleicht irgendwo nen Minus in der Formel?
24.06.2011, 23:09	kleinesteffi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja \|z\|<=1
24.06.2011, 23:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man mache sich (bevor man sie stur induktiv beweist) die Identität $\begin{eqnarray} \prod_{k=0}^n (1+z^{2^k}) = \sum_{k=0}^{2^{n+1}-1} z^k \end{eqnarray}$ klar. Selbst wenn man das übrigens nicht sieht, so liegt doch nichts näher, als einfach mal für n = 1,2,3,... das Produkt hinzuschreiben und auszurechnen. Und wenn man das tut, dann kann man die Augen wirklich nicht mehr verschließen.
24.06.2011, 23:52	kleinesteffi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja auf dies bin ich dann gerade auch gestoßen aber die induktion find ich fies :/
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25.06.2011, 10:28	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Induktion ist doch nur ein formales Hindernis. Man sollte sich lieber mal überlegen, WARUM diese Identität gilt. Das Stichwort ist hier (vielleicht überraschenderweise): Binärdarstellung einer natürlichen Zahl

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