Was ist der Kurvenhauptsatz?

14.12.2006, 23:09

think

Was ist der Kurvenhauptsatz?

und was kann ich damit für Aussagen machen? Aus unserm Skript werde ich irgendwie net schlau.
Es hat irgendwas mit der Potentialberechnung bei einer stückweisen glatten Kurve zu tun.
Kann mir da mal einer auf die Sprünge Tanzen

helfen?

mfg
think

14.12.2006, 23:42

sqrt(2)

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Zitat:

Original in http://www.mathematik.uni-freiburg.de/IA...i2/skript_12.ps
Ein Vektorfeld $\begin{eqnarray*} f\in C^0(G,\mathbb{R}^d) \end{eqnarray*}$ auf einem Gebiet $\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ besitzt genau dann ein Potential $\begin{eqnarray*} \varphi\in C^1(G,\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f=\operatorname{grad} \varphi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , wenn die Kurvenintegrale von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ wegunabhängig sind. Das Potential $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist bis auf eine additive Konstante durch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt.

Ich hab übrigens gerade einen tieferen Einblick in ein paar Details von physikalischen Modellen bekommen, danke für die Frage. smile

15.12.2006, 00:06

think

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Vielen Dank. Freude

Damit kann man doch arbeiten.
Ich hätte allerdings nochmal ne Frage und zwar was genau, heißt dieses "wegunabhängig" und wie kann ich das zeigen bzw. sehen?

15.12.2006, 00:13

sqrt(2)

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"Wegunabhängig" heißt, dass alle Integrale von einem Punkt P zu einem Punkt Q unabhängig von der durch diese beiden Punkte verlaufenden Kurve in G, über die man integriert, den gleichen Wert haben. Das dürfte äquivalent dazu sein, dass alle Ringintegrale in G null ergeben.

16.12.2006, 12:13

think

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das habe ich mir auch schon so gedacht, aber gibt es irgendeine Möglichkeit das zu "sehen" oder muss ich das immer ausprobieren?

Lieben Gruß,
think

16.12.2006, 13:16

sqrt(2)

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Wenn f überall differenzierbar ist, dürfte $\begin{eqnarray*} \nabla\times f=0 \end{eqnarray*}$ ein hinreichendes Kriterum sein.