aus partieller DGL eine gewöhnliche DGL machen

25.06.2011, 08:24

Guest7

aus partieller DGL eine gewöhnliche DGL machen

Hallo!

Ich stehe vor folgender Aufgabe. Gegeben sei folgende Funktion zum Zeitpunkt t = 0:

$\begin{eqnarray*} \Psi(x, 0) = N e^{- \frac{x^2}{2b^2}} \end{eqnarray*}$ (N ist eine Konstante)

Aufgabe: "Bestimmen Sie die Zeitentwicklung von $\begin{eqnarray*} \Psi(x, t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$ durch Lösen der Schrödingergleichung eines freien Teilchens in einer Dimension."

Die Schrödingergleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x, t) = -\frac{\hbar}{2mi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi(x, t) \end{eqnarray*}$

Als Hinweis ist gegeben, aus der partiellen Schrödingergleichung durch Fouriertransformation eine gewöhnliche zu machen und die Identität $\begin{eqnarray*} \mathcal F[f'](k) = i k \mathcal{F}[f](k) \end{eqnarray*}$ (Fouriertrafo) zu nutzen.

Also ich bin mir nicht ganz sicher, was ich jetzt machen soll. Ich habe jetzt erstmal die Fouriertransformation von $\begin{eqnarray*} \Psi(x, 0) \end{eqnarray*}$ errechnet. Es kommt so etwas raus: $\begin{eqnarray*} C \cdot e^{-\frac{k^2 b^2}{2}} \end{eqnarray*}$ (C ist eine Konstante). Und weiter?

Die Idee ansich habe ich ja grob verstanden. Die Fouriertransformation $\begin{eqnarray*} \mathcal F[\Psi] \end{eqnarray*}$ bewirkt einen Darstellungswechsel (der Variablen) meiner Ausgangsfunktion. Die Funktion soll vermutlich nur noch von einer Variablen abhängig gemacht werden, damit ich eben eine gewöhnliche DGL erhalte, die ich dann lösen kann. Trotzdem weiß ich nicht ganz weiter. Wo setze ich die erhaltene Fouriertransformation jetzt in die Schrödingergleichung ein?

Hoffe auf Hilfe und wünsche noch ein schönes Wochenende.

25.06.2011, 12:59

Huggy

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RE: aus partieller DGL eine gewöhnliche DGL machen
Du musst natürlich auch die DGL F-transformieren. Es verbleibt dann eine simple Ableitung nach t, die man direkt integrieren kann. Die Integrationskonstante ergibt sich aus der F-Transformierten von $\begin{eqnarray*} \psi(x,0) \end{eqnarray*}$

25.06.2011, 14:26

Nubler

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ein hinweis zur umständlichkeit.
laplacetransformier statdessen.

was du auch machen kannst ist den Zeitentwickler nachzuschaun.

26.06.2011, 18:28

Guest7

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RE: aus partieller DGL eine gewöhnliche DGL machen

Zitat:

Original von Huggy
Du musst natürlich auch die DGL F-transformieren. Es verbleibt dann eine simple Ableitung nach t, die man direkt integrieren kann. Die Integrationskonstante ergibt sich aus der F-Transformierten von $\begin{eqnarray*} \psi(x,0) \end{eqnarray*}$

Es wäre gelogen, wenn ich sagen würde, ich hätte es vollends verstanden. "Die gesamte DGL fouriertransformieren"? Also so oder wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t} \mathcal{F}[f(x, t)](k) = -\frac{\hbar}{2mi} \frac{\partial}{\partial x} ik \mathcal{F}[f(x, t)](k) \end{eqnarray*}$

Was ist denn dann die Fouriertransformation von $\begin{eqnarray*} \Psi(x, t) \end{eqnarray*}$ ? Von $\begin{eqnarray*} \Psi(x, 0) \end{eqnarray*}$ kann ich sie ja berechnen, weil entsprechend ein expliziter Funktionsterm vorgegeben ist: $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}[f(x, 0)](k) = C \cdot e^{-\frac{k^2 b^2}{2}} \end{eqnarray*}$

Aber allgemein?

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}[f(x, t)](k) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty \! \Psi(x, t) e^{-ikx} \, dx \end{eqnarray*}$ Und dann?

26.06.2011, 18:37

Huggy

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RE: aus partieller DGL eine gewöhnliche DGL machen
Du musst die F-Transformierte von $\begin{eqnarray*} \Psi(x, t) \end{eqnarray*}$ noch nicht explizit berechnen. Nenn sie einfach f( k, t). Nach der Anleitung in der Aufgabe kriegst du dann eine simple DGL für f(k, t). Die löst du und dann hast du f(k, t).

26.06.2011, 18:52

Guest7

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RE: aus partieller DGL eine gewöhnliche DGL machen

Zitat:

Original von Huggy
Du musst die F-Transformierte von $\begin{eqnarray*} \Psi(x, t) \end{eqnarray*}$ noch nicht explizit berechnen. Nenn sie einfach f( k, t). Nach der Anleitung in der Aufgabe kriegst du dann eine simple DGL für f(k, t). Die löst du und dann hast du f(k, t).

Ah, verstehe, die Lösung kriege ich erst durch Lösen der DGL. Und anschließend muss ich vermutlich die Fourierrücktransformation durchführen. Aber ich sehe immer noch nicht, wieso ich jetzt eine gewöhnliche DGL haben soll:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t} f(k, t) = -\frac{\hbar}{2mi} \frac{\partial}{\partial x} ik f(k, t) \end{eqnarray*}$

<<--- Immer noch eine partielle DGL. Was habe ich falsch gemacht?

26.06.2011, 18:53

pressure

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Du kannst auch die zweite partielle Ortsableitung durch ik ersetzen.

26.06.2011, 18:55

Huggy

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RE: aus partieller DGL eine gewöhnliche DGL machen
Du musst du die in der Anleitung gegebene Regel auf der rechten Seite zweimal anwenden. Dann sind die Ableitungen nach x weg.

26.06.2011, 18:56

Huggy

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Zitat:

Original von pressure
Du kannst auch die zweite partielle Ortsableitung durch ik ersetzen.

@pressure
Man mischt sich in laufende Threads nur ein, wenn es dafür einen guten Grund gibt!

26.06.2011, 18:58

Guest7

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Zitat:

Original von pressure
Du kannst auch die zweite partielle Ortsableitung durch ik ersetzen.

Ah, natürlich, folgt wohl aus der Linearität der Fouriertransformation. Also so müsste die Gleichung letztendlich richtig aufgestellt sein. Bitte um Bestätigung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t} f(k, t) = \frac{\hbar}{2mi} k^2 f(k, t) \end{eqnarray*}$

26.06.2011, 19:00

Huggy

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So ist es!

26.06.2011, 19:03

Guest7

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Hab(t) vielen Dank. Ich schaue dann mal, ob ich's jetzt zuende rechnen kann. Wenn nicht, nerv ich nochmal. Big Laugh

19.04.2014, 15:12

physikdude

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Hallo liebe Leute,
der thread ist zwar etwas älter, mir hat er jedoch sehr weitergeholfen.

Ich habe die Differentialgleichung nach der transfotmierten von psi aufgelöst, jedoch habe ich dann eine unbekannte Integrationskonstante

$\begin{eqnarray*} \Psi =C * \exp{ \frac {hk^2 t}{2mi}}\\ \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nun

1) Wie kriege ich C raus

2) Muss ich das noch im den Ortsraum rücktransformieren, und wenn ja, wie?

PS: Sorry für eventuelle latex Fehler smile

20.04.2014, 13:30

Huggy

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Zitat:

Original von physikdude
$\begin{eqnarray*} \Psi =C * \exp{ \frac {hk^2 t}{2mi}}\\ \end{eqnarray*}$

Das soll offenbar die Fouriertransformierte von $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ sein. Die solltest du dann aber anders nennen, z. B. $\begin{eqnarray*} \tilde \Psi (k,t) \end{eqnarray*}$ oder wie oben einfach $\begin{eqnarray*} f (k,t) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

1) Wie kriege ich C raus

Das stand doch schon da. Aus der in der Aufgabe gegebenen Anfangsbedingung. Aus

$\begin{eqnarray*} f(k,t) =C \cdot e^{ \frac {hk^2 t}{2mi}}\\ \end{eqnarray*}$

bekommt man

$\begin{eqnarray*} f(k,0)=C=\mathcal F (\Psi (x,0)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

2) Muss ich das noch im den Ortsraum rücktransformieren

Ja, denn es ist ja nach $\begin{eqnarray*} \psi (x,t) \end{eqnarray*}$ gefragt.

Zitat:

und wenn ja, wie?

Entweder zu Fuß mit der allgemeinen Formel der Rücktransformation oder du schaust in einer Tabelle der Fouriertransformationen nach.

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