Darstellung symmetrischer Matrizen

25.06.2011, 12:29

silvio

Darstellung symmetrischer Matrizen

Hi,

Meine Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} S = (s_{ij}) \in M (n, \mathbb K) \end{eqnarray*}$ symmetrisch und $\begin{eqnarray*} \delta_{k}(S) := det (s_{ij})_{i,j=1,...,k} \neq 0 \end{eqnarray*}$ für k = 1,...,n.

(a) S habe die Darstellung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} T & w \\ w^{T} & \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \in GL (n-1, \mathbb K) \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \beta \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} S = A^{T} \cdot \begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} \cdot A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} I_{n-1} & T^{-1}w \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

(b) Zeigen Sie: Es existiert eine obere Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray*} W \in M (n, \mathbb K) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} W = \begin{pmatrix} 1 & \ & * \\ \ & \ddots & \ \\ 0 & \ & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} S = W^{T} DW \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D = diag (\delta_{1}(S), \frac{\delta_{2}(S)}{\delta_{1}(S)},..., \frac{\delta_{n}(S)}{\delta_{n-1}(S)}) \end{eqnarray*}$ .
Tipp: Induktion nach n.

Meine Ideen:

(a) $\begin{eqnarray*} A^{T} \begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} A = \begin{pmatrix} T & w \\ T^{-1}wT & T^{-1}wTT^{-1}w + \beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die obere Zeile stimmt schon mal. Aber wie ist $\begin{eqnarray*} T^{-1}wT \end{eqnarray*}$ definiert? Und für $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ müsste gelten: $\begin{eqnarray*} \beta = \alpha - T^{-1}ww \end{eqnarray*}$ (was auch nicht definiert ist) ?

(b) Der Induktionsanfang n = 1 ist klar. Dann setzt man die Behauptung für n als bewiesen voraus und muss auf n+1 schließen. Man müsste also zeigen, dass der rechte untere Eintrag von D dann $\begin{eqnarray*} \frac{\delta_{n+1}(S)}{\delta_{n}(S)} \end{eqnarray*}$ ist. Aber wie beweise ich das?

25.06.2011, 20:08

LoBi

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Ich glaube du hast A falsch transponiert:
$\begin{eqnarray*} A^T = \begin{pmatrix} I_{n-1}^T & 0 \\ (T^{-1}w)^T & 1 \end{pmatrix}<br /> = \begin{pmatrix} I_{n-1}^T & 0 \\ w^TT^{-1} & 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$ Dann beim Rest beachten das T auch symmetrisch ist, dann kommt was sinnvolles raus.

Gruß

26.06.2011, 10:02

silvio

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Ich hatte beim Transponieren nicht daran gedacht, dass T eine Matrix ist. Hammer

Dann erhält man $\begin{eqnarray*} A \begin{pmatrix} T & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} A^{T} = \begin{pmatrix} T & w \\ w^{T} & (T^{-1}w)^{T}w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und es müsste gelten: $\begin{eqnarray*} \beta = \alpha - (T^{-1}w)^{T}w \end{eqnarray*}$ ? Und lässt sich das noch vereinfachen?

26.06.2011, 11:05

LoBi

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Denke das passt schon so.
Habe grade die b) gemacht. Im Induktionsschritt musst du die $\begin{eqnarray*} (n+1) \times (n+1) \end{eqnarray*}$ Matrix wie in Teil a) darstellen, und dann für T die Induktionsvorraussetzung einsetzen.

Gruß

26.06.2011, 13:09

silvio

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Warum kann man S in diese Darstellung überführen? Woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} T \in M (n, \mathbb K) \end{eqnarray*}$ invertierbar ist?

Falls das möglich ist, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix} T & w \\ w^{T} & \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V^{T}DV & w \\ w^{T} & \alpha \end{pmatrix} = A^{T} \begin{pmatrix} V^{T}DV & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} A = A^{T} \begin{pmatrix} V^{T} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} D & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} A = A^{T} V_{1}^{T} \begin{pmatrix} D & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} V_{1}A = (V_{1}A)^{T} \begin{pmatrix} D & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} V_{1}A \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} V_{1} = \begin{pmatrix} V & 0 \\ 0 & V \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_{1}A \end{eqnarray*}$ ist dann eine obere Dreiecksmatrix und D die gesuchte Diagonalmatrix mit $\begin{eqnarray*} \beta = \frac{\delta_{n+1}(S)}{\delta_{n}(S)} \end{eqnarray*}$ . Bin ich damit fertig oder muss ich noch den Bezug zwischen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ zeigen? Wie würde ich das machen?

26.06.2011, 13:43

LoBi

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Zitat:

Original von silvio
Warum kann man S in diese Darstellung überführen? Woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} T \in M (n, \mathbb K) \end{eqnarray*}$ invertierbar ist?

Nach Vorraussetzung gilt ja $\begin{eqnarray*} \delta_{k}(S) := det (s_{ij})_{i,j=1,...,k} \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Dein $\begin{eqnarray*} V_1 \end{eqnarray*}$ verwirrt mich irgendwie grad.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} I_{n} & 0 \\(T^{-1}w)^T & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}V^T & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}D & 0\\ 0 & \beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}V & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_{n} & T^{-1}w \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix}V^T & 0 \\ (T^{-1}w)^TV^T & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}D & 0\\ 0 & \beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}V & VT^{-1}w \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \beta = \frac{\delta_{n+1}(S)}{\delta_{n}(S)} \end{eqnarray*}$ muss noch gezeigt werden.

Gruß

26.06.2011, 15:35

silvio

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Sorry, ich hatte mich vorhin verschrieben. Ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} V_{1} = \begin{pmatrix} V & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Damit komme ich auf das selbe Ergebnis wie du.

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \delta_{n+1}(S) = det (S) = det (V_{1}A)^{T} \cdot det \begin{pmatrix} D & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} \cdot det (V_{1}A) = det (D) \cdot \beta = \delta_{1}(S) \cdot \frac{\delta_{2}(S)}{\delta_{1}(S)} \cdot ... \cdot \frac{\delta_{n}(S)}{\delta_{n-1}(S)} \cdot \beta = \delta_{n}(S) \cdot \beta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \beta = \frac{\delta_{n+1}(S)}{\delta_{n}(S)} \end{eqnarray*}$

Danke schön! smile

26.06.2011, 16:36

LoBi

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Gerne, falls du schon ne Idee zu Aufgabe 3 hast, kannst du mir gerne ne PN schreiben.
Da häng ich grad Augenzwinkern

Gruß

27.06.2011, 22:10

Kevin-357

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Hi!

Habe ich soweit genauso- nur habe ich noch eine Frage:

Muss man den Induktionsanfang nicht für n=2 durchführen, weil sonst ist S ja nicht korrekt definiert- oder?

Gruß Kevin

28.06.2011, 21:03

silvio

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Warum sollte S für n = 1 nicht korrekt definiert sein? Für n = 1 kannst du S durch die in (b) geforderten Matrizen ausdrücken und S ist auch symmetrisch.

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