Tangentialebene zur Fläche z im Punkt (x,y,z)

25.06.2011, 12:52

dub89

Tangentialebene zur Fläche z im Punkt (x,y,z)

Kann das stimmen oder liege ich da komplett falsch (da ich die z-Koordinate im Punkt nicht verwendet habe)?

Angabe:
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene zur Fläche $\begin{eqnarray*} z = x^{2}+2y^{2} \end{eqnarray*}$ im Punkt (1,1,3).

Hier meine Lösung:
$\begin{eqnarray*} z_{t} = f(x_{0}, y_{0}) + \frac{dt}{dx}(x_{0}, y_{0})*(x-x_{0}) + \frac{dt}{dy}(x_{0}, y_{0})*(y-y_{0}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = 1^{2} + 2\cdot 1^{2} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} = 2x + 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}(1,1,3) = 2\cdot 1 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dy} = 4y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}(1,1,3) = 4\cdot 1 = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z(x,y) = 3 + 2(x-1) + 4(y-1) = 3+2x-2+4y-4 = \end{eqnarray*}$ 2x+4y-3

Vielen Dank schonmal!

25.06.2011, 13:24

Perhalo

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Auf der linken Seite deiner Ebenen Gleichung soll ja Delta(z) = $\begin{eqnarray*} z-z_{0} \end{eqnarray*}$ und nicht f(x,y) stehen. Am Ende möchtest du eine Ebene der Form

0=ax+by+cz+d

bekommen.

25.06.2011, 14:10

dub89

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$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dz} = 0 \end{eqnarray*}$
Das heißt es würde sich an der Form nichts ändern - das Ergebnis bleibt gleich?

Nur wäre die Notation jetzt
$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dz}(z_{0})*(z-z_{0}) = f(x_{0}, y_{0}) + \frac{dt}{dx}(x_{0}, y_{0})*(x-x_{0}) + \frac{dt}{dy}(x_{0}, y_{0})*(y-y_{0}) \end{eqnarray*}$
oder?

25.06.2011, 14:16

Perhalo

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Nein, nein. Jetzt hast du auf einmal eine ganz andere Abbildung!

Ersetze einfach bei deiner Formel für die Tangentialebene

$\begin{eqnarray*} z_{t} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z-z_{0} \end{eqnarray*}$

und rechne dann einfach ganz normal.

25.06.2011, 14:27

dub89

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$\begin{eqnarray*} z-z_{0} = f(x_{0}, y_{0}) + \frac{dt}{dx}(x_{0}, y_{0})*(x-x_{0}) + \frac{dt}{dy}(x_{0}, y_{0})*(y-y_{0}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z - 3 = 3 + 2*(x - 1) + 4*(y - 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z - 3 = 2x + 4y - 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = 2x + 4y \end{eqnarray*}$

25.06.2011, 14:33

Perhalo

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Genau. Und wenn du willst kannst du dann davon direkt den Normalenvektor ablesen oder andere lustige Sachen machen smile