Trigonalisierung einer komplexen Matrix

25.06.2011, 16:09	Kevin-357	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonalisierung einer komplexen Matrix Meine Frage: Hallo! Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Triognalisieren sie die Matrix A, wobei $\begin{eqnarray} A:=\begin{pmatrix} i & 3 & 2 \\ 0 & 2i & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Also, zunächste habe ich das charakteristische Polynom bestimmt: $\begin{eqnarray} p_{A}(\lambda )=-(i-\lambda )^{3} \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} \lambda _{1}=i \end{eqnarray}$ einziger Eigenwert mit algebraischer Vilefachheit 3. Nun habe ich den zugehörigen Eigenraum berechnet: $\begin{eqnarray} Eig(A,i)=ker(A-iI)=ker\begin{pmatrix} 0 & 3 & 2\\ 0 & i & 1 \\ 0 & 1 & -i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das habe ich dann mit einem Gleichungssystem berechnet. Ergebnis war, dass x2=x3=0 und x1 beliebig. Nun ist meine erste Frage, ist dann $\begin{eqnarray} Eig(A,i)=span\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ oder ohne den komplexen Eihnheitsvektor? Jedenfalls folt daraus, dass die geometrische Vielfachheit ungleich der algebraischen ist und damit A nicht diagonalisierbar. Nun zu Trigonalisierung: Schritt 1: Hier weiß ich nicht ob $\begin{eqnarray} W_{1}=C^{3} & oder & W_{1}=\mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ ? Und dann als Basis die Einheitsvektoren und die komplexen Einheitsvektoren, bzw. nur die Einheitsvektoren. $\begin{eqnarray} \lambda _{1}=i \end{eqnarray}$ mit EV $\begin{eqnarray} v_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann ist B1=B2 und $\begin{eqnarray} S_{1}^{-1}=T_{B_{1}}^{B_{2}} (A)=I \end{eqnarray}$ . => $\begin{eqnarray} A_{2}=S_{1}\cdot A\cdot S_{1}^{-1}=I\cdot A\cdot I=A \end{eqnarray}$ Schritt 2: Hier weiß ich jetzt nicht weiter, denn wenn ich nun die Üvergangsmatrix $\begin{eqnarray} S_{2}^{-1}=T_{B_{1}}^{B_{3}} (A) \end{eqnarray}$ bestimmen will, besteht die aus 6 Zeilen und Spalten, sofern ich die Basis mit den reellen und komplexen Einheitsvektoren habe... Ich hoffe ihr versteht wo mein Problem ist und könnt mir helfen. Gruß Kevin
25.06.2011, 18:50	silvio	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Kevin, der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ muss nicht im span stehen, aber es ist auch nicht falsch. Es würde reichen: $\begin{eqnarray} Eig (A,i) = \{\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \mid \lambda \in \mathbb C \} \end{eqnarray}$ Als kanonische Basis verwendest du die selbe wie von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ , da die Koeffizienten ja aus $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ stammen und $\begin{eqnarray} dim_{\mathbb C}(\mathbb C) = 1 \end{eqnarray}$ ist. Mit dem von dir gewählten Vektor erhält man als Übergangsmatrix die Identität, an der Stelle komme ich auch nicht weiter, da natürlich alle anderen Eigenvektoren zu i linear abhängig von $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ sind.
26.06.2011, 15:56	Kevin-357	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, das war auch mein Problem... Den ersten Schritt kann man sich ja auch quasi sparen, wenn in der ersten Spalte schon die beiden Nullen stehen. Kann uns denn niemand beim 2. Schitt helfen?

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