Positiv definite Matrizen

Neue Frage »

steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Positiv definite Matrizen
Meine Frage:
Sei positiv definit, dann gilt:

Der betragsmäßig größte Eintrag von A liegt auf der Diagonalen.


Meine Ideen:
Ich kann zeigen, dass alle Einträge größer als Null sind, da (Definition von positiv definit), hierzu wähle ich x als stand, Einheitsvektor, aber das hilft mir ja noch nicht weiter...

Hat jemand einen Tipp?

Danke
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Angriffspunkt.
A ist spd => maximaler Eintrag von A liegt auf Diagonale

oder

A ist nicht spd <= maximaler Eintrag von A liegt nicht auf der Diagonalen


Kann man für Variante 2 einen Vektor bauen, so dass <x,Ax> <=0 gilt?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein Angriffspunkt.
<x,Ax> <=0, soll das kleiner gleich heißen?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein Angriffspunkt.
Also: Wenn ich mir x als einen kan. Einheitsvektor wähle, dann fallen ja quasi alle nicht Diagonalelemente weg, dann kann ich aber ein nicht Diagonalelement betragsmäßig größer wählen als alle Diagonalelemente und die Matrix ist dennoch positiv defint:

Bsp.:



dann ist: <x,Ax> mit x =



So dann ist die Matrix ja offensichtlich positiv defint, obwohl ein nicht Diagonalelement betragsmäßig größer ist als die Diagonalelemente!

Wo steckt der Fehler???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein Angriffspunkt.
Du hast nicht alle Vektoren betrachtet. Es soll für jeden Vektor ungleich dem Nullvektor >0 gelten.

Die konkrete Angabe eines Vektors funktioniert nur bei einem Gegenbeispiel. Ferner ist deine Matrix noch nicht mal regulär.
Cosmo Lavish Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Positiv definite Matrizen
Hey Stevie,

ich sitze gerade an der selben Aufgabe wie du auch und habe da auch eine Lösung gefunden. Allerdings ist die noch nicht ganz richtig...

Allerdings muss ich dazu etwas weiter ausholen und schon bei Aufgabenteil b) beginnen:
Dort sollen wir zeigen dass:


Ausgegangen bin ich dabei von der Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

Sei also Innenprodukt (wir haben ja gelernt, dass jede positiv definite Matrix ein Innenprodukt auf erzeugt). Dieses Innenprodukt ist dann bilinear, symmetrisch und positiv definit (da A positiv definit und symmetrisch).

Da also ein Innenprodukt ist, gilt auch CS:

Wähle nun
Dies wird umgeformt:




Nun wollen wir die Gleichheit ausschließen und gehen folgendermaßen vor:
An dieser stelle bin ich mir zwar ziemlich sicher dass man das so machen darf, aber ich habe die Quelle leider verlegt(also wäre toll wenn da jemand schreiben könnte ob das richtig ist): Man kann mittels Ähnlichkeitstransformation so umformen, dass man jeweils in der j-ten und i-ten Zeile und Spalte nur Nullen außen den Einträgen hat. Dann kann man A noch weiter umformen, so dass ein Block entsteht mit .

Jetzt gibt es meines Wissens (bitte bestätigen) ein kleines Lemma/Theorem, nach dem jede Blockmatrix in einer positiv definiten Matrix ebenfalls positiv definit ist. Nun nehme ich an, dass Aufgabenteil c) gilt und sich auf der Diagonalen das betragsmäßig größte Element befindet:

Annahme: Es gilt "="
Wenn bei Cauchy-Schwarz "=" gilt, dann sind die x und y linear abhängig. (Im Falle unserer Einheitsvektoren kann dass aber nur sein wenn i = j, also ) Dann ist aber was ein Wiederspruch zu c) wäre.
(Außerdem fällt mir gerade auf, dass ja vorrausgesetzt ist... naja egal...

das war mein Aufgabenteil b). Bei c) verwende ich jetzt, wie oben, dass man nur die Einträge betrachten muss und erstelle, wie oben auch mein
Aus
mache ich dann
Sei nun
Dann gilt:
und ich bin fertig.

Stimmt das so?

Normalerweise würde ich hier nicht unbedingt meine Lösung in einen anderen Post reinpflanzen, aber da wir die selbe Aufgabe machen hast du hoffentlich nix dagegen Stevie...

Glg
Cosmo

Edit: Latexfehler verbessert... verwirrt ...die Indizes sind nervig...
 
 
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, tigerbine ist auf eine wesentlich einfachere Lösung aus (ich kann mich nur mühsam beherrschen, sie nicht auszuplaudern, da es ja nur ein Einzeiler ist). Augenzwinkern

Aber Gratulation, dass du mit deinen 109 Jahren noch so geistig fit bist. Freude
Cosmo Lavish Auf diesen Beitrag antworten »

Cool! Also stimmt das... Danke fürs drüberschauen!

Aber den Einzeiler würde ich ehrlich gesagt auch gerne sehen... ich bin da nämlich nicht draufgekommen. Und es ist immer toll wenn es ne Elegante Lösung gibt...^^

Natürlich bin ich fit! Ich esse ja auch immer meinen Spinat auf!!! smile
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Na wenn's denn sein muss:

Eigenschaft angewandt auf ergibt , was wegen zu führt.
Cosmo Lavish Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir!!
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

was wegen zu führt.

woher weißt du denn, dass die Matrix symmetrisch ist? Es ist doch lediglich von positv definitheit dir Rede.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Positiv definit aber nicht symmetrisch
Matrixgleichung
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Aufarbeiten alter Baustellen ist mir dieser Thread wieder aufgefallen.

tigerbine hat schon wesentliches zum Thema verlinkt, aber hier nochmal deutlich mein Standpunkt: Für mich schließt der Begriff "positiv definit" mit ein, dass die Matrix hermitesch, im Reellen also symmetrisch ist. Fordert man dies nicht, dann ist es ein leichtes, für Aussage

Zitat:
Original von steviehawk
Der betragsmäßig größte Eintrag von A liegt auf der Diagonalen.

ein Gegenbeispiel anzugeben:

.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »