Taylor Polynom für 3 Variable

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25.06.2011, 18:32	otto89	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor Polynom für 3 Variable Moin.. Ich habe im Internet keine Taylor-Formel für 3 Variablen gefunden. In sämtlichen Büchern finde ich nur bis zu 2 Variablen. Bei Wikipedia und co versteh ich nicht ganz, was die meinen.. Kann da jmd helfen? Gruß, otto
25.06.2011, 19:00	bey	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht wird es klarer, wenn man die Formel von wiki konkret für eine funktion f(x,y,z) aufschreibt, die man an der Stelle (a,b,c) entwickeln möchte: $\begin{eqnarray} f(x,y,z)= \sum_{n=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{(x-a)^n\cdot(y-b)^j\cdot(z-c)^k}{n!\cdot j! \cdot k!} \cdot \left[ \frac{\partial^{n}}{\partial x^n} \frac{\partial^{j}}{\partial y^j}\frac{\partial^{k}}{\partial z^k} f(x,y,z)\right]_{(x,y,z)=(a,b,c))} \end{eqnarray}$ Letzteres bedeutet, man soll f(x,y,z) in der Reihenfolge wie gegeben partiell ableiten und dann bei (x,y,z) = (a,b,c) auswerten.
25.06.2011, 19:19	otto89	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wofür stehen die Summenzeichen? Was sind denn n,j und k ? Diese Form verstehe ich, gilt ja aber nur für 2 Variable: http://upload.wikimedia.org/math/5/5/8/5587e7367ecb9029926201c9747966b2.png
25.06.2011, 20:11	bey	Auf diesen Beitrag antworten »
Was stört dich an den Summen? Weißt du wie man Summenzeichen ließt? n, k, j sind Laufindizes der drei Summen, also natürliche Zahlen (0,1,2,3,4, ...). Man muss sich das so vorstellen, dass man über alle mögliche natürliche Zahlen n, k, j summiert. Im zweidimensionalem Fall hat man auch nur $\begin{eqnarray} f(x,y)= \sum_{n=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty \frac{(x-a)^n \dot (y-b)^j}{n! \cdot j!} \cdot \left[ \frac{\partial^n}{\partial x^n} \frac{\partial^j}{\partial y^j} f(x,y)\right]_{(x,y)=(a,b)} \end{eqnarray}$ . Ich hoffe, dir ist klar, dass der Link den du gepostet hast nur eine Näherung darstellt. Da wurden so ziemlich unendlich viele Glieder der Doppelsumme weggelassen und nur die Summanden für alle mögliche Kombinationen von n=(0,1,2) und j=(0,1,2) dargestellt.
25.06.2011, 20:17	bey	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau genommen tauchen folgende Kombinationsmöglichkeiten in deinem Link auf: n=0, j=0 n =1, j=0 n=0, j=1 n=2, j=0 n=1, j=1 n=0, j=2 und zwar genau in der Reihenfolge
25.06.2011, 21:05	otto89	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, ich glaube ich habe verstanden.. Jetzt mach ich grad eine Aufgabe und es stellt sich mir eine erneute Frage^^ Ich habe partielle Ableitungen gebildet und muss dann ja den Punkt einsetzten (also (a,b,c)) f_xx wird z.B. = 2 => wie soll ich da x,y,z einsetzen? Wird das null oder bleibt das 2?
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25.06.2011, 21:13	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn f_xx =2 ist, dann ist es ja eigentlich f(x,y,z)_xx = 2. Damit ist diese Funktion für beliebige x, y und z immer 2. D.h. es bleibt 2.
25.06.2011, 22:25	otto89	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, da hab ich nun noch ne Frage... : welche kombinationsmöglichkeiten muss ich durchlaufen, wenn die aufgabe ist, das Polynom vom 2ten Grade zu berechnen? Alle Möglichkeiten? Weil das wären dann ja ganz schön viele.. Also: 000 001 011 111 110 100 010 101 und dann 002 022 222 220 200 020 202 Wäre das so richtig? Oder muss ich noch 212 und so mit aufnehmen? Besten Dank schonmal für die Erklärungen
25.06.2011, 22:33	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fällt mir schwer zu glauben, dass man sowas ausrechnen soll. Bitte poste mal die ganze Aufgabe. Sonst müssten meiner Meinung nach 000 001 011 111 110 100 010 101 200 020 002 die gesuchten Terme sein.
26.06.2011, 14:00	otto89	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnen des Taylor Polynom 2. Grades für f: $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=2xy+y^2+zy-xz-x^2 \end{eqnarray}$ in der Umgebung von $\begin{eqnarray} x_0=(0,0,0) \end{eqnarray}$ Mein Ansatz ist jetzt: $\begin{eqnarray} T(x,y,z)=f^0(x,y,z)+(z-c)f_z^0+(y-b)(z-c)f_{yz}^0+... \end{eqnarray}$
26.06.2011, 14:20	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
muss mich korrigieren. der fall 111 sollte da nicht vorkommen.
26.06.2011, 14:23	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Aufgabe in der Berechnung des zweiten Taylorpolynoms besteht, gibt es seine sehr, sehr schöne Formel dafür: [Artikel] Taylorapproximation Die Darstellung mit den Summen ist sehr kompliziert und verwirrend.

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