Ebene zwischen Punkt und Spiegelpunkt

25.06.2011, 20:29

Dasiggo

Ebene zwischen Punkt und Spiegelpunkt

Hallo,

folgendes Problem:

Gegeben ist ein Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und ein Spiegelpunkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , dazwischen ist eine Ebene. Die Ebene soll ermittelt werden bzw. die parameterlose Ebenengleichung. Der Schlüssel ist ja der Normalenvektor. Der Normalenvektor geht ja von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ zum Punkt auf der Ebenen unter $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ mal Parameter. Also $\begin{eqnarray*} r_{E} = P + tn \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ =Normalenvektor.

Mein Problem ist die Länge von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Der Vektor von $\begin{eqnarray*} \vec{PS} \end{eqnarray*}$ enhält ja bereits den Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Wieso wird dann gerade der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{PS} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in der Lösung angegeben. Ist es nicht so das je länger $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist, desto größer die Fläche?

Gruß

DaSiggo

25.06.2011, 20:34

Bjoern1982

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Zitat:

Wieso wird dann gerade der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{PS} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in der Lösung angegeben

Weil er eben senkrecht zur gesuchten Ebene steht, die Länge eines Normalenvektors ist uninteressant.
Mit dem Mittelpunkt der Strecke PS hast du dann auch noch einen Punkt der Ebene, wodurch sie dann eindeutig bestimmt ist.

25.06.2011, 20:37

lgrizu

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RE: Ebene zwischen Punkt und Spiegelpunkt
Die Länge des Normalenvektors spielt keine Rolle, wir erhalten mit jedem Normalenvektor die Form $\begin{eqnarray*} \vec{x} \cdot \vec{n}=d \end{eqnarray*}$ , um d zu ermitteln benötigen wir einen Punkt auf der Ebene, in unserem Fall sollte das kein Problem sein.

Edit: Zu spät.

25.06.2011, 20:44

Dasiggo

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Bedeutet das, der Normalenvektor so was wie der Einheitsvektor einer Geraden ist? Also mit der selben Richtung und Orientierung? Für eine Grade kann ich mir das vorstellen, aber für eine Fläche?

Das mit dem Normalenvektor ist noch ganz neu für mich.

25.06.2011, 21:27

lgrizu

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Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein auf ihr senkrecht stehender Vektor.

25.06.2011, 22:43

Dasiggo

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Das senkrecht stehen ist mir bekannt und ist nicht schwer sich vorzustellen. Womit ich nicht so zurecht komme ist, das ich nicht weiß was der Normalenvektor genau aussagt und deswegen kann ich wahrscheinlich auch nicht verstehen warum die Länge nicht wichtig ist. Hättest du vielleicht ein Beispiel?

25.06.2011, 23:03

lgrizu

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Die Ebenen $\begin{eqnarray*} E_1:3x_1+x_2+5x_3=6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2:12x_1+4x_2+20x_3=24 \end{eqnarray*}$ sind identisch, die Normalenvektoren sind vielfache voneinander (was zumindest bedeutet, dass sie parallel sind) und ihr Abstand vom Ursprung ist der gleiche, also sind sie identisch.

Zitat:

Original von Dasiggo
Ist es nicht so das je länger $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist, desto größer die Fläche?

Von welcher Fläche sprichst du hier? Von der Fläche der Ebene?

26.06.2011, 09:06

Dasiggo

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Ich glaube es fängt langsam an zu rattern.

Berichtige mich wenn ich falsch liege:

Demnach ist der Normalenvektor die Gleichung des Abstandes eines Punktes zu einem anderen auf einer Ebene. Üblicher weise wird dafür der erste Punkt verwendet, aber es kann auch genau so gut ein anderer sein. Um zwei Ebenen zu vergleichen muss aber ein gemeinsamer Punkt gewählt werden, damit der gleiche Abstand entsteht. Setze ich für (x y z) einen Vektor ein, so bekomme ich den Abstand vom Ursprungspunkt zu dem Punkt (x y z) bzw die Länge des Vektors (Ursprung --> (x y z)).

Das der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht ist bekannt, aber wie kommt das, dass wenn man zwei Seiten Vektoriel multipliziert und dann einen Punkt für den Abstand zum Ursprungspunkt festlegt, dass dann irgend so ein Auswuchs (Normalenvektor) aus der ebene wächst? Ich würde instinktiv erwarten, das alles was man in der Ebene rechnet, auch in der Ebene bleibt. Oder versuche ich das zu Plastisch zu verstehen?

26.06.2011, 16:49

lgrizu

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Da weiß man ja gar nicht, wo man anfangen soll, das ist alles ziemlicher Käse.

Zitat:

Original von Dasiggo
Demnach ist der Normalenvektor die Gleichung des Abstandes eines Punktes zu einem anderen auf einer Ebene.

Ein Vektor ist doch keine Gleichung.

Zitat:

Original von Dasiggo
Üblicher weise wird dafür der erste Punkt verwendet, aber es kann auch genau so gut ein anderer sein.

Wöfür wird welcher Punkt benutzt? Was ist der erste Punkt?

Zitat:

Original von Dasiggo
Um zwei Ebenen zu vergleichen muss aber ein gemeinsamer Punkt gewählt werden, damit der gleiche Abstand entsteht.

Das verstehe ich inhaltlich nun gar nicht.

Zitat:

Original von Dasiggo
Setze ich für (x y z) einen Vektor ein, so bekomme ich den Abstand vom Ursprungspunkt zu dem Punkt (x y z) bzw die Länge des Vektors (Ursprung --> (x y z)).

Nein, das ist nicht so.

Zitat:

Original von Dasiggo
Das der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht ist bekannt, aber wie kommt das, dass wenn man zwei Seiten Vektoriel multipliziert und dann einen Punkt für den Abstand zum Ursprungspunkt festlegt, dass dann irgend so ein Auswuchs (Normalenvektor) aus der ebene wächst? Ich würde instinktiv erwarten, das alles was man in der Ebene rechnet, auch in der Ebene bleibt. Oder versuche ich das zu Plastisch zu verstehen?

Das verstehe ich auch nicht, sorry.

27.06.2011, 22:14

Dasiggo

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Es scheint das ich doch noch gar nichts verstanden habe.
Ich versuche das Thema Vektorberechnung mir plastisch vorzustellen, das hilft mir die Aufgaben zu lösen. Wenn ich an einen Vektor denke, dann denke ich tatsächlich an eine Linie irgendwo in meinem Zimmer, mit einem Anfangspunkt und einem Endpunkt zu dem ich z.B. ein Schritt zur Seite, einen Vorwärts und einen nach oben machen muss um an dem Endpunkt zu gelangen.
Bisher fuhr ich damit gut, nur mit dem Normalvektor habe ich Schwierigkeiten mir das wie und warum plastisch vorzustellen. Außer das es eine Linie ist die senkrecht zur Fläche steht und anscheinend an jedem Punkt der Fläche gültig ist.

Im Moment ist der Normalvektor für mich einfach nur eine Rechengröße die mir irgendwie hilft bestimmte Sachverhalte zu lösen. Wenn man mit fragen würde warum, wäre meine beste Antwort: Darum. Ist einfach so.

27.06.2011, 22:50

lgrizu

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Wenn du dir das vorstellen möchtes hilft dir vielleicht eine Pyramide im Raum. Die Höhe dieser Pyramide steht senkrecht auf der Grundfläche.

Wenn wir diesen Vektor nehmen, also den, der die Höhe beschreibt und den Abstand der Spitze der Pyramide zur Grundfläche berechnen möchten dann nehmen wir den Vektor und normalisieren ihn, so dass er die Länge 1 hat. Dann schauen wir, wie viele Vektoren der Länge 1 wir hintereinander stellen müssen, um die Spitze der Pyramide zu erreichen, das ist dann die Höhe, also der Abstand eines Punktes von einer gegebenen Ebene.
Nehmen wir nun einen Punkt, der auf einer Ebene parallel zu der Grundfläche der Pyramide liegt, so ist sein Abstand der gleiche, wir haben unseren Normalenvektor also auf der Ebene verschoben, der Vektor an sich hat sich aber nicht verändert.

28.06.2011, 21:44

Dasiggo

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Ich danke dir für deine Geduld.

Wenn ich also dein Beispiel von Oben aufgreife dann bedeutet das nur das $\begin{eqnarray*} E_{2} \end{eqnarray*}$ so was wie die vierte parallele versetzte "Spiegelfläche" über der Grundfläche ist. Die Höhe ist von der Grundfläche gesehen zwar 4 mal so hoch, aber ab der Spiegelfläche erreiche ich mit dem Normalvektor die selbe Höhe wie ab der Grundfläche. Die Grundfläche wurde 4 mal übereinander versetzt gestapelt, also fast wie eine Treppe. Kann man das so sagen?

29.06.2011, 09:07

lgrizu

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Meinst du diese beiden Ebenen?

Zitat:

Original von lgrizu
$\begin{eqnarray*} E_1:3x_1+x_2+5x_3=6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2:12x_1+4x_2+20x_3=24 \end{eqnarray*}$

Die sind identisch, also es ist $\begin{eqnarray*} E_1=E_2 \end{eqnarray*}$ .

Mein letzter Post ging erst einmal nur darum, wie du dir einen Normalenvektor vorstelölen kannst.

Vielleicht kommt das Verständnis auch mit dem Lösen der Aufgabe.

Ein Normalenvektor der Eben ist der Vektor von S nach P, das hast du ja bereits richtig erkannt.

Eine Gerade durch S und P, die senkrecht auf der gesuchten Ebene steht wird gegeben durch die Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\vec{0P}+t \cdot \vec{SP} \end{eqnarray*}$ .

Welchen Abstand hat nun S von P ?

01.07.2011, 19:11

Dasiggo

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Also,

wenn ich einfach mal umstelle:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\vec{0P}+t \cdot \vec{SP} \Rightarrow \frac{\vec{x}-\vec{0P}}{t} =\vec{SP} \end{eqnarray*}$

wenn ich nach meiner beigefügten Zeichnung gehe:

$\begin{eqnarray*} \vec{0S}-\vec{0P} =\vec{SP} \end{eqnarray*}$

Aber würde dann nicht: $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\vec{0S}+t \cdot \vec{SP} \end{eqnarray*}$ ?

Oder übersehe ich bei der Tatsache etwas, das da zwei Vektoren zusammentreffen?

03.07.2011, 11:40

lgrizu

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Die beiden Geraden $\begin{eqnarray*} \vec{0S}+t \cdot \vec{SP} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{0P}+s \cdot \vec{SP} \end{eqnarray*}$ sind identisch.

Warum du diese Umstellung machst ist mir unklar.

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