Koeffizientenvergleich hier anwendbar?

25.06.2011, 20:42

PeterH

Koeffizientenvergleich hier anwendbar?

Meine Frage:
Hallo alle miteinander,

Ich habe eine Funktion zweiten Grades und eine Funktion vierten Grades. Von der ersten Funktion sind die Koeffizienten unbekannt, während ich die Koeffizienten der Funktion vierten Grades nicht kenne. Nun soll - setze ich Funktion eins für x in sich selbst ein - Funktion zwei herauskommen. Die Frage ist nun, welche Koeffizienten dann Funktion eins benötigt. Zuerst dachte ich, das sei ganz leicht lösbar, indem man einen Koeffizientenvergleich anwendet. Allerdings habe ich dann mit dem Ergebnis eine Probe gemacht und es kam nicht das Gewünschte heraus. Was mache ich falsch?

Mfg maddio14

Meine Ideen:

25.06.2011, 21:08

Calvin

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RE: Koeffizientenvergleich hier anwendbar?

Zitat:

Original von PeterH
während ich die Koeffizienten der Funktion vierten Grades nicht kenne.

Kann es sein, dass dir hier ein "nicht" zu viel reingerutscht ist?

Ansonsten kannst du das mit Quotientenvergleich machen. Was du falsch machst kann man dir nur sagen, wenn du deine Rechnung hier reinstellst.

Als Ansatz nimm

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=dx^4+ex^3+fx^2+gx+h \end{eqnarray*}$ (bzw. mit den bekannten Koeffizienten)

Wenn die Aufgabe heißt "setze ich Funktion eins für x in sich selbst ein", was bedeutet das mathematisch?

25.06.2011, 21:15

PeterH

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Hi Calvin,

Ja du hast Recht. Da ist mir tatsächlich ein "nicht" reingerutscht. Wenn ich die Funktion "in sich selbst einsetze", erhalte ich

$\begin{eqnarray*} a\cdot \left(a\cdot x^{2} +b\cdot x+c\right) ^{2} +b\cdot \left(a\cdot x^{2} +b\cdot x+c\right) +c \end{eqnarray*}$ ,

was gleich

$\begin{eqnarray*} d\cdot x^{4} +e\cdot x^{3} +f\cdot x^{2} +g\cdot x^{1} +h \end{eqnarray*}$

sein soll. Das erste Polynom habe ich dann mühsam ausgeklammert und dann der Höhe der Potenz nach geordnet. Dann habe ich mir gedacht ich könnte den Koeffizientenvergleich anwenden. Ist das falsch? Was meinst du mit "Quotientenvergleich" genau?

Mfg maddio14

25.06.2011, 21:21

Calvin

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Theoretisch alles richtig. Wenn es trotzdem nicht passt, dann hast du dich vermutlich beim Auflösen der Klammern verrechnet.

Wie lauten denn die Koeffizienten der zweiten Funktion?

Zitat:

Original von PeterH
Was meinst du mit "Quotientenvergleich" genau?

Damit meinte ich Koeffizientenvergleich. War nur gedanklich in einem anderen Thread und habe zwei Begriffe vermischt Augenzwinkern

25.06.2011, 21:24

PeterH

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Das Problem soll allgemein gelöst werden, sodass es sich bei diesen um Parameter handelt. Ich checke nochmal meine Rechnung; vermutlich hast du dann Recht, dass irgendwo ein Umformungsfehler steckt. Bei weiteren Fragen melde ich mich nochmal.

Mfg maddio14

25.06.2011, 21:42

PeterH

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So ich habe die Umformung nochmal gecheckt und da habe ich scheinbar keinen Fehler gemacht. Als Ergebnis habe ich:

$\begin{eqnarray*} \left(b_0+b_1\cdot b_0+b_2\cdot b_0^{2} \right) <br /> +\left(b_1^{2}+2\cdot b_2\cdot b_1\cdot b_0 \right) \cdot x + \left(b_1\cdot b_2+2\cdot b_0\cdot b_2^{2}+b_2\cdot b_1^{2} \right) \cdot x^{2} +\left(2\cdot b_1\cdot b_2^{2} \right) \cdot x^{3} +\left(b_2^{3} \right) \cdot x^{4} \end{eqnarray*}$

(Ich habe hier eine andere Notation verwendet, als du d.h. d=b_0, e=b_1,...)

25.06.2011, 22:03

PeterH

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Was mache ich nur falsch? Ich setze zuerst

$\begin{eqnarray*} b_2^{3} =d \end{eqnarray*}$

und löse nach b_2 auf. Dann setze ich

$\begin{eqnarray*} 2\cdot b_1\cdot b_2^{2}=e \end{eqnarray*}$

und für b_2 den oben bereits gefundenen Ausdruck ein, um b_1 zu erhalten. Beide setze ich dann wiederum in

$\begin{eqnarray*} b_1\cdot b_2+2\cdot b_0\cdot b_1^{2}+b_2\cdot b_1^{2} =f \end{eqnarray*}$

ein und habe damit b_0, b_1 und b_2 ermittelt. Teste ich aber das Ergebnis durch eine Proberechnung passt es nicht. Wo liegt der Fehler? Bei der Umformung scheine ich keinen Fehler gemacht zu haben.

Mfg maddio14

25.06.2011, 22:21

Calvin

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Bis hier hin kann ich keinen Fehler entdecken.

Damit wir es noch deutlicher wird, füge ich noch dazu, dass du von folgenden zwei Funktionen ausgehst:

$\begin{eqnarray*} f(x)=b_2x^2+b_1x+b_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=dx^4+e^x3+fx^2+gx+h \end{eqnarray*}$

Du hast jetzt die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} b_0, b_1, b_2 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} d, e, f \end{eqnarray*}$ berechnet. Das bedeutet aber auch, dass die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} g, h \end{eqnarray*}$ nicht beliebig gewählt sein können. Die sind auch abhängig von $\begin{eqnarray*} d, e, f \end{eqnarray*}$ , damit die Aufgabe überhaupt lösbar ist.

Eine Proberechnung erspare ich mir. Die Rechnung mit den allgemeinen Werten ist nur lästig. Wer denkt sich denn eigentlich solche Aufgaben aus?

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