Basis von Summe von Unterräumen

25.06.2011, 21:39	schnaki	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Summe von Unterräumen Meine Frage: Guten Abend, ich habe eine kurze Frage. Es sind folgende Unrräume von V (R[X]) gegeben $\begin{eqnarray} U=(x^{3}+2x^{2}-x-2, x^{3}+3x^{2}-2x+1, x^{3}+5x^{2}-4x+7)<br /> W=(x^{3}+x^{2}+3x, 2x^{3}+3x^{2}+8x+2) \end{eqnarray}$ Ich soll eine Basis von der Summe und dem Schnitt der Unterräume bestimmen. Kann ich das machen, indem ich die Polynome als Vektoren auffassse? Also z.B. $\begin{eqnarray} U=(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1\\-2 \end{pmatrix},....) \end{eqnarray}$ gruß schnaki Meine Ideen: -
25.06.2011, 22:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du eine Begründung dafür angibst, warum du das machen darfst, wäre das eine Möglichkeit, ja.
26.06.2011, 09:40	schnaki	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß leider nicht wieso man das machen darf. ich habe das im internet auf einer seite gelesen. kannst du mir das vielleicht erklären? Wenn ich den Algorithmus durchgeführt habe, erhalte ich für U+W eine 4-elementige Basis (Standardbasis). In der Aufgabenstellung steht allerdings noch, dass dim(V)<= 3 ist. Kann das sein?
26.06.2011, 09:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: Isomorphie von Vektorräumen. Für $\begin{eqnarray} V=\mathbb R[X] \end{eqnarray}$ ist bestimmt nicht $\begin{eqnarray} \dim(V)\leq 3 \end{eqnarray}$ .
26.06.2011, 12:19	schnaki	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, ich hab mich vertan. in der aufgabenstellung steht, dass die Polynome von Grad <= 3 sind. Ich kann die Polynome als Vektoren auffassen wegen der Isomorphie des Vektorraum der Polynome vom Grad <= 3 über den reellen Zahlen zu R^3 Lieben Dank für die Hilfe
26.06.2011, 13:01	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch das ist nicht ganz richtig, welche Dimension hat dann der Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathcal V=\mathbb R[X]_{\leq 3} \end{eqnarray}$ , zu welchem Vektorraum ist er also isomorph?
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26.06.2011, 14:12	schnaki	Auf diesen Beitrag antworten »
ach, verdammt! die Polynome sind vom Grad p<=3, d.h. eine Basis dieser Polynome ist $\begin{eqnarray} B=(1,x, x^{2},x^{3}) \end{eqnarray}$ , d.h. dim (V)=4....also ist V zum Vektorraum R^4 isomorph, nicht wahr?
26.06.2011, 14:15	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt wird es richtig. Zur Bestimmung der Basen von Summe und Schnitt könnte man dann den Zassenhausalgorithmus verwenden, der liefert für beide sofort das Ergebnis.
26.06.2011, 15:00	schnaki	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke

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